Question

已知函數(shù)f（x）=

mx+n

1+x2

是定義在[-

1

2

，

1

2

]上是奇函數(shù)，且f（-

1

4

）=

8

17

（1）確定函數(shù)f（x）解析式
（2）用定義證明函數(shù)f（x）在[

1

2

，

1

2

]上是減函數(shù)
（3）若實數(shù)t滿足f（

t

3

）+f（t+1）＜0，求t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，利用比較系數(shù)法算出n=0，再根據(jù)f（-

1

4

）=

8

17

建立關(guān)于m的等式解出m=-1，即可得到函數(shù)f（x）解析式；
（2）設(shè)定義域內(nèi)的自變量x₁、x₂滿足x₁＜x₂，將相應(yīng)函數(shù)值作差變形得f（x₁）-f（x₂）=

(x1-x2)(x1x2-1)

(1+x12)(1+x22)

，討論符號得出f（x₁）＞f（x₂），從而得出函數(shù)f（x）在[

1

2

，

1

2

]上是減函數(shù)；
（3）由函數(shù)為奇函數(shù)化簡不等式為f（

t

3

）＜f（-t-1），利用定義域內(nèi)是減函數(shù)轉(zhuǎn)化為-

1

2

＜-t-1＜

t

3

＜

1

2

，解之即可得到出實數(shù)t的范圍．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=

mx+n

1+x2

為奇函數(shù)，
∴對于定義域內(nèi)的任意實數(shù)x，都有f（-x）=-f（x）
即

-mx+n

1+x2

=-

mx+n

1+x2

，可得-mx+n=-mx-n，得n=0
∴f（x）=

mx

1+x2

∵f（-

1

4

）=

8

17

，∴

- 1 4 m

1+ 1 16

=

8

17

，解之得m=-1
因此，函數(shù)f（x）解析式為f（x）=

-x

1+x2

（2）由（1）知，f（x）=

-x

1+x2

，
設(shè)x₁、x₂∈[-

1

2

，

1

2

]，且x₁＜x₂，可得
f（x₁）-f（x₂）=

-x1

1+x12

-

-x2

1+x22

=

(x1-x2)(x1x2-1)

(1+x12)(1+x22)

∵x₁-x₂＜0，x₁x₂-1＜0，（1+ x12）（1+ x22）＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，得f（x₁）＞f（x₂）
由此可得函數(shù)f（x）在[

1

2

，

1

2

]上是減函數(shù)；
（3）∵f（x）在[

1

2

，

1

2

]上是奇函數(shù)且是減函數(shù)
∴實數(shù)t滿足f（

t

3

）+f（t+1）＜0，即f（

t

3

）＜-f（t+1）=f（-t-1）
可得-

1

2

＜-t-1＜

t

3

＜

1

2

，解之得-

3

4

＜t＜-

1

2

即得實數(shù)t的范圍為（-

4

3

，-

1

2

）．

點評：本題給出分式函數(shù)為奇函數(shù)，求函數(shù)的表達(dá)式、證明單調(diào)性并依此解關(guān)于t的不等式，著重考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的定義及其應(yīng)用的知識，屬于中檔題．