Question

在幾何體ABCDE中，，DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC，AB=AC=BE=2，CD=1，
（I）求證：DC∥平面ABE；
（II）設(shè)平面ABE與平面ACD的交線為直線l，求證：l∥平面BCDE；
（III）設(shè)F是BC的中點，求證：平面AFD⊥平面AFE．

Answer 1

解：（I）證明：∵DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC，∴DC∥EB，
又∵DC?平面ABE，EB?平面ABE，∴DC∥平面ABE．
（II）∵CD⊥平面ABC，BE⊥平面ABC∴CD∥BE，∴CD∥平面ABE． 又l=平面ACD∩平面ABE．∴CD∥l．
又l?平面BCDE，CD?平面BCDE，∴l(xiāng)∥平面BCDE．
（III）∵F是BC的中點，∵CD⊥平面ABC，∴CD⊥AF．∵AB=AC，F(xiàn)是BC的中點，∴AF⊥BC，AF⊥平面BCDE．
∴AF⊥DF，AF⊥EF，∴∠DFE是面AFD和面AFE所成二面角的平面角．
在△DEF中，F(xiàn)D=，F(xiàn)D⊥FE，即∠DFE=90°，∴平面AFD⊥平面AFE．
分析：（I）要證明DC∥平面ABE，關(guān)鍵是要在平面ABE中找到可能與DC平行的直線，觀察發(fā)現(xiàn)BE滿足要求，根據(jù)已知證明BE∥DC，再根據(jù)線面平行的判定定理即可求解．
（II）根據(jù)CD⊥平面ABC，BE⊥平面ABC判斷出CD∥BE，進而利用直線與平面平行的判斷定理可知CD∥平面ABE，利用直線與平面平行的性質(zhì)可推斷出CD∥l，進而可推斷出l∥平面BCDE．
（III）根據(jù)CD⊥平面ABC推斷出CD⊥AF，同時利用AB=AC，F(xiàn)是BC的中點推斷出AF⊥BC，AF⊥平面BCDE進而利用直線與平面垂直的性質(zhì)可知AF⊥DF，AF⊥EF進而可推斷出∠DFE是面AFD和面AFE所成二面角的平面角，利用勾股定理可推斷出FD⊥FE，推斷出∠DFE=90°，進而證明出平面AFD⊥平面AFE．
點評：本題主要考查了平面與平面垂直的性質(zhì)，直線與平面平行的判定等，要求考生對基本定理能熟練掌握．其一般規(guī)律是“由已知想性質(zhì)，由求證想判定”，也就是說，根據(jù)已知條件去思考有關(guān)的性質(zhì)定理；根據(jù)要求證的結(jié)論去思考有關(guān)的判定定理，往往需要將分析與綜合的思路結(jié)合起來．