Question

已知函數(shù)f（x）=

1

x-a

+

1

x-b

，其中實(shí)數(shù)a＜b，則下列關(guān)于f（x）的性質(zhì)說法不正確的是（　�。�

• A、若f（x）為奇函數(shù)，則a=-b
• B、方程f[f（x）]=0可能有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根
• C、在區(qū)間（a，b）上f（x）為減函數(shù)
• D、函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系,函數(shù)的零點(diǎn)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：A．利用奇函數(shù)的定義求解；
B．f（x）=0的時(shí)候只有一個(gè)解，求出來的x就是f（x）的值，這時(shí)有兩個(gè)解就可以了．
C．顯然該函數(shù)在（a，b）上連續(xù)，則只需判斷函數(shù)y=

1

x-a

，y=

1

x-b

在該區(qū)間上的單調(diào)性即可；
D．解方程f（x）=0即可．

解答： 解：對于A．若該函數(shù)為奇函數(shù)，則定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以有x≠a與x≠b關(guān)于原點(diǎn)對稱，即a=-b，故A正確；
對于B．由f（x）=0得

1

x-a

+

1

x-b

=0，即x=

a+b

2

．所以f[f（x）]=0有解，只需f（x）=

a+b

2

．即

1

x-a

+

1

x-b

=

a+b

2

．①，此時(shí)不妨取a=-1，b=2，代入①化簡得x²-5x=0，所以x=0或5，此時(shí)有兩個(gè)根，故B正確；
對于C．對于f（x）=

1

x-a

+

1

x-b

，其定義域?yàn)閧x|x∈R且x≠a且x≠b}，結(jié)合a＜b可知，函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上是連續(xù)的，因?yàn)楹瘮?shù)y=

1

x

在定義域內(nèi)的兩段區(qū)間上都是減函數(shù)，所以結(jié)合圖象的平移變換的知識可知：y=

1

x-a

，y=

1

x-b

也都是（a，b）上的減函數(shù)，所以f（x）在（a，b）上是減函數(shù)．故C正確．
對于D．由f（x）=0得

1

x-a

+

1

x-b

=0，即x=

a+b

2

．只有一個(gè)根．故D錯(cuò)誤．
故選D．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根之間的關(guān)系，要注意結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行研究．屬于能力題．