試證明以下定理：

定理：已知凸四邊形ABCD的四邊分別為AB＝a，BC＝b，CD＝c，DA＝d，兩對角線分別為AC＝m，BD＝n，則cos(A＋C)＝cos(B＋D)＝．

答案：
解析：

　　證明：如下圖，設(shè)AC與BD相交于O點，

　　在△ABD中，由余弦定理，得n2＝a2＋d2－2adcosA，①

　　在△BCD中，由余弦定理，得n2＝b2＋c2－2bccosC．②

　�、冢伲�adcosA－bccosC＝(a2＋d2－b2－c2)．③

　　設(shè)四邊形ABCD的面積為S，則S＝S△ABD＋S△BCD＝adsinA＋bcsinC，④

　　即2S＝adsinA＋bcsinC．

　�、�2＋④2，得(ad)2＋(bc)2－2adbccos(A＋C)＝(a2＋d2－b2－c2)2＋4S2．⑤

　　在△BOC中，設(shè)∠BOC＝α，

　　由余弦定理，得b2＝OB2＋OC2－2OB·OCcosα．

　　在△COD中，有c2＝OC2＋OD2－2OC·ODcos(π－α)；

　　在△DOA中，有d2＝OD2＋OA2－2OD·OAcosα；

　　在△AOB中，有a2＝OA2＋OB2－2OA·OBcos(π－α)．

　　于是有b2－c2＋d2－a2＝－2mncosα，

　　即(b2－c2＋d2－a2)2＝4m2n2cos2α，cos2α＝．

　　而S四邊形ABCD＝S△AOB＋S△BOC＋S△COD＋S△DOA＝mnsinα，

　　即4S2＝m2n2sin2α＝m2n2(1－cos2α)＝m2n2[1－]．

　　代入⑤式，有(ad)2＋(bc)2－2adbccos(A＋C)

　�。�(a2＋d2－b2－c2)2＋m2n2－(b2－c2＋d2－a2)2

　�。�m2n2＋(a2＋d2－b2－c2＋b2－c2＋d2－a2)(a2＋d2－b2－c2－b2＋c2－d2＋a2)

　�。�m2n2＋(a2－b2)(d2－c2)

　�。�m2n2＋(ad)2－(bd)2－(ac)2＋(bc)2，

　　即．

　　而A＋B＋C＋D＝2π，

　　∴cos(A＋C)＝cos[2π－(B＋D)]＝cos(B＋D)，

　　即cos(A＋C)＝cos(B＋D)＝．


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定理：“若a，b為常數(shù)，g（x）滿足g（a+x）+g（a-x）=2b，則函數(shù)y=g（x）的圖象關(guān)于點（a，b）中心對稱”．設(shè)函數(shù)f(x)=
x+1-a
a-x
，定義域為A．
（1）試證明y=f（x）的圖象關(guān)于點（a，-1）成中心對稱；
（2）當x∈[a-2，a-1]時，求證：f(x)∈[-
1
2
， 0]；
（3）對于給定的x1∈A，設(shè)計構(gòu)造過程：x2=f（x1），x3=f（x2），…，xn+1=f（xn）．如果xi∈A（i=2，3，4…），構(gòu)造過程將繼續(xù)下去；如果xi∉A，構(gòu)造過程將停止．若對任意x1∈A，構(gòu)造過程都可以無限進行下去，求a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•淮北二模）在△ABC中a，b，c分別為角A，B，C所對的邊的邊長．
（1）試敘述正弦或余弦定理并證明之；
（2）設(shè)a+b+c=1，求證：a2+b2+c2≥
13
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

試證明以下結(jié)果:①如圖,一個Dandelin球與圓錐面的交線為一個圓,并與圓錐的底面平行,記這個圓所在平面為π′;②如果平面π與平面π′的交線為m,在圖3-1中橢圓上任取一點A,該Dandelin球與平面π的切點為F,則點A到點F的距離與點A到直線m的距離比是小于1的常數(shù)e.（稱點F為這個橢圓的焦點,直線m為橢圓的準線,常數(shù)e為離心率）

圖3-1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

試證明以下結(jié)果：①如圖3-1，一個Dandelin球與圓錐面的交線為一個圓，并與圓錐的底面

平行，記這個圓所在平面為π′；②如果平面π與平面π′的交線為m，在圖3-1中橢圓上任取一點A，該Dandelin球與平面π的切點為F，則點A到點F的距離與點A到直線m的距離比是小于1的常數(shù)e.（稱點F為這個橢圓的焦點，直線m為橢圓的準線，常數(shù)e為離心率）

圖3-1

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