Question

已知函數(shù)f(x)=

1

2

+log2

x

1-x

．
（Ⅰ）求證：f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)(

1

2

，

1

2

)成中心對稱；
（Ⅱ）若Sn=f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)(n∈N*，且n≥2)，求Sn；
（Ⅲ）已知a1=

2

3

，an=

1

(Sn+1)(Sn+1+1)

(n≥2，n∈N*)，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為T_n．若T_n＜λ（S_n+1+1）對一切n∈N^*都成立，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）證明函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)M成中心對稱，只需在圖象上任取一點(diǎn)A，求出其關(guān)于中心的對稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)，代入函數(shù)解析式也成立，即可證明成中心對稱．利用以下結(jié)論：若f（x）+f（1-x）=1，則f（x）圖象關(guān)于點(diǎn)(

1

2

，

1

2

)成中心對稱也可證明．
（II）利用（I）的結(jié)論可知f（x）+f（1-x）=1，因此運(yùn)用倒序相加法的思想方法很容易解答本題．
（III）由（II）知Sn=

n-1

2

，因此求得a_n，利用裂項(xiàng)相消法可以求得{a_n}的前n項(xiàng)和為T_n，于是由T_n＜λ（S_n+1+1）得到 λ與n的關(guān)系式進(jìn)一步利用函數(shù)與方程的思想轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，可解得λ 的取值范圍．

解答：證明：（Ⅰ）在函數(shù)f（x）圖象上任取一點(diǎn)M（x，y），M關(guān)于(

1

2

，

1

2

)的對稱點(diǎn)為N（x₁，y₁），
∴

x+x1 2 = 1 2 y+y1 2 = 1 2

，∴

x=1-x1 y=1-y1

①．
∵f（x）=

1

2

+log2

x

1-x

，即y=

1

2

+log2

x

1-x

②．
將①代入②得，1-y1=

1

2

+log2

1-x1

1-(1-x1)

=

1

2

+log2

1-x1

x1

=

1

2

-log2

x1

1-x1

，
∴y1=

1

2

+log2

x1

1-x1

，∴N（x₁，y₁）也在f（x）圖象上，∴f（x）圖象關(guān)于點(diǎn)(

1

2

，

1

2

)成中心對稱．
（直接證f（x）+f（1-x）=1得f（x）圖象關(guān)于點(diǎn)(

1

2

，

1

2

)成中心對稱，也可給分）（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x）+f（1-x）=1，
又∵n≥2時，Sn=f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)③，Sn=f(

n-1

n

)+f(

n-2

n

)+••+f(

1

n

)④
③+④得2S_n=n-1，∴Sn=

n-1

2

．（9分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，當(dāng)n≥2時，an=

1

( n-1 2 +1)( n 2 +1)

=

4

(n+1)(n+2)

=4(

1

n+1

-

1

n+2

)，
∴當(dāng)n≥2時，Tn=

2

3

+4(

1

3

-

1

4

+

1

4

-

1

5

+…+

1

n+1

-

1

n+2

)=

2

3

+4(

1

3

-

1

n+2

)=2-

4

n+2

；
∵當(dāng)n=1時，T1=

2

3

也適合上式，∴Tn=2-

4

n+2

(n∈N*)．
由T_n＜λ（S_n+1+1）得，2-

4

n+2

＜λ(

n

2

+1)，∴λ＞

2

n+2

(2-

4

n+2

)，即λ＞

4

n+2

-

8

(n+2)2

．
令t=

2

n+2

，則

4

n+2

-

8

(n+2)2

=2t-2t2=-2(t-

1

2

)2+

1

2

，
又∵n∈N^*，∴0＜t≤

2

3

，
∴當(dāng)t=

1

2

時，即n=2時，

4

n+2

-

8

(n+2)2

最大，它的最大值是

1

2

，∴λ∈(

1

2

，+∞)．（14分）

點(diǎn)評：本題考查了數(shù)列與函數(shù)、函數(shù)的圖象、不等式等綜合內(nèi)容，函數(shù)圖象成中心對稱的有關(guān)知識，考查相關(guān)方法，考查了數(shù)列中常用的思想方法，如倒序相加法，裂項(xiàng)相消法求數(shù)列前n項(xiàng)的和，利用函數(shù)與方程的思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想解答熱點(diǎn)問題--有關(guān)恒成立問題．