Question

高二、一班4名同學與高二、二班3名同學共7人，組隊參加某個比賽，組長為一班的甲同學，副組長為二班的乙同學．比賽結束后站成一排照相，試分別求出符合下列要求的排法種數(shù)．
（1）甲、乙兩同學相鄰；
（2）一班的同學與二班的同學間隔排列；
（3）最高的一位同學站中間，兩邊的同學由高到低（中間向兩端方向）站列．

Answer 1

分析：（1）用捆綁法，先將甲、乙兩同學合為一個“元素”，考慮甲、乙的順序，再連同其余5人共6個“元素”任意排列，由分步計數(shù)原理，即可得答案；
（2）用插空法，一班4名同學之間有三個“空隙”，分析可得一班的同學與二班的同學間隔排列只能是二班的同學站在三個“空隙”位置上，由分步計數(shù)原理計算可得答案；
（3）先安排最高的同學站中間，在從剩余的6位同學中選出3位同學，由高到低站在其右側，余下的三名同學由高到低站在其左側即可，由組合數(shù)公式，計算可得答案．

解答：解：（1）先將甲、乙兩同學合為一個“元素”，甲乙之間有A₂²種不同的順序，
連同其余5人共6個“元素”任意排列，有A₆⁶種不同的情況，
由分步計數(shù)原理，共有

A

6 6

•

A

2 2

=1440種不同的排法．
（2）先將一班4名同學排好，有A₄⁴種情況，4名同學之間有三個“空隙”，
因此一班的同學與二班的同學間隔排列只能是二班的同學站在三個“空隙”位置上，有A₃³種情況，
由分步計數(shù)原理共有

A

4 4

•

A

3 3

=72種不同的排法．
（3）先安排最高的同學站中間，在從剩余的6位同學中選出3位同學，由高到低站在其右側，余下的三名同學由高到低站在其左側即可．
因此共有

C

3 6

=

6×5×4

3×2×1

=20種不同的排法．

點評：本題考查排列、組合及簡單計數(shù)問題，關鍵是熟練掌握計數(shù)原理及排列組合的公式，掌握常見題型的處理方法，如本題中綁定法，插空法．