Question

已知函數(shù)y=log_ax（0＜a≠1）的反函數(shù)y=f^-1（x），給出關(guān)于f（x）與f^-1（x）的四個命題：其中正確命題的序號是

①②③

．
①兩個函數(shù)必有相同的單調(diào)性；
②當(dāng)a＞1時，兩個函數(shù)的圖象沒有交點(diǎn)；
③若兩個函數(shù)的圖象有交點(diǎn)，交點(diǎn)一定在y=x上；
④兩個函數(shù)圖象有交點(diǎn)的充分不必要條件為0＜a＜1．

Answer 1

分析：根據(jù)指數(shù)函數(shù)和同底的對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與底數(shù)的關(guān)系，可以判斷①的真假；根據(jù)a＞1時，數(shù)函數(shù)和同底的對數(shù)函數(shù)的圖象，可以判斷②的真假；根據(jù)當(dāng)0＜a＜1時，數(shù)函數(shù)和同底的對數(shù)函數(shù)的圖象，可以判斷③的真假；根據(jù)③中結(jié)論，結(jié)合充要條件的定義，可以判斷④的真假；進(jìn)而得到答案．

解答：解：∵函數(shù)y=log_ax（0＜a≠1）的反函數(shù)y=f^-1（x）=a^x，
∴當(dāng)a＞1時，原函數(shù)和反函數(shù)均為增函數(shù)，當(dāng)0＜a＜1時，原函數(shù)和反函數(shù)均為減函數(shù)，
故①兩個函數(shù)必有相同的單調(diào)性正確；
當(dāng)a＞1時，函數(shù)y=log_ax（0＜a≠1）與函數(shù)y=a^x的圖象分別位置直線y=x兩側(cè)，
故兩個函數(shù)的圖象沒有交點(diǎn)，故②正確；
當(dāng)0＜a＜1時，函數(shù)y=log_ax（0＜a≠1）與函數(shù)y=a^x的圖象交于直線y=x上一點(diǎn)
故③若兩個函數(shù)的圖象有交點(diǎn)，交點(diǎn)一定在y=x上正確；
兩個函數(shù)圖象有交點(diǎn)的充要條件為0＜a＜1，故④錯誤
故答案為：①②③

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是反函數(shù)，指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，其中熟練掌握同底的指數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．