精英家教網(wǎng)如圖,四邊形ABCD是菱形,PA⊥平面ABCD,M為PA的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:PC∥平面BDM;
(Ⅱ)求證:平面BMD⊥平面PAC;
(III)若PA=AC=
2
,BD=2
3
,求三棱錐M-ABD的體積.
分析:(I)欲證PC∥平面MBD,根據(jù)線面平行的判定定理可知只需在平面QBD內(nèi)找一直線與之平行,設(shè)AC∩BD=O,連OM,易證OM∥PC;
(II)欲證平面MBD⊥平面PAC,根據(jù)線面垂直的判定定理可知只需證BD⊥平面PAC,而易證BD⊥AC與PA⊥BD.
解答:解:(Ⅰ)設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O,連接OM.
因為ABCD是菱形,則O為AC中點(diǎn).精英家教網(wǎng)
又M為PA的中點(diǎn),所以O(shè)M∥PC
因為OM在平面BDM內(nèi),所以PC∥平面BDM.
(Ⅱ)因為ABCD是菱形,則BD⊥AC.
又PA⊥平面ABCD,則PA⊥BD.
所以BD⊥平面PAC.
∴平面BMD⊥平面PAC.
(III)∵四邊形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,∴S△ABD=
1
2
×2
3
×
2
2
=
6
2

∵PA⊥平面ABCD,∴MA為三棱錐M-ABD的高,MA=
2
2
,
∴三棱錐M-ABD的體積V=
1
3
×
6
2
×
2
2
=
3
6
點(diǎn)評:本題考查了線面平行的證明,考查了面面垂直的證明,求三棱錐的體積,考查了空間想象能力與推理論證能力.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,四邊形ABCD與A′ABB′都是邊長為a的正方形,點(diǎn)E是A′A的中點(diǎn),A′A⊥平面ABCD.
(1) 求證:A′C∥平面BDE;
(2) 求證:平面A′AC⊥平面BDE
(3) 求平面BDE與平面ABCD所成銳二面角的正切值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,四邊形ABCD為正方形,QA⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=
12
PD.
(Ⅰ)證明PQ⊥平面DCQ;
(Ⅱ)求棱錐Q-ABCD的體積與棱錐P-DCQ的體積的比值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,四邊形ABCD為矩形,且AD=2,AB=1,PA⊥平面ABCD,PA=1,E為BC的中點(diǎn).
(1)求點(diǎn)C到面PDE的距離;  
(2)求二面角P-DE-A的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,如果它的一個外角∠DCE=64°,那么∠BOD
128°
128°

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,四邊形ABCD為正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=
12
PD.
(1)證明:平面PQC⊥平面DCQ;
(2)求二面角D-PQ-C的余弦值.

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