分析 (1)取AE的中點(diǎn)G,連接GF,GB,推導(dǎo)出四邊形CFGB為平行四邊形,從而CF∥BG.由此能證明CF∥平面EAB.
(2)以A為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以AB,AD,AE為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出平面ECD與平面BCF所成銳二面角的余弦值.
解答 證明:(1)取AE的中點(diǎn)G,連接GF,GB.
∵點(diǎn)F為DE的中點(diǎn),∴GF∥AD,且GF=12AD,
又AD∥BC,AD=2BC,∴GF∥BC,且GF=BC,
∴四邊形CFGB為平行四邊形,∴CF∥BG.
∵CF?平面EAB,BG?平面EAB,
∴CF∥平面EAB.(5分)
解:(2)∵CF⊥AD,∴AD⊥BG,而AB⊥AD,
∴AD⊥平面EAB,∴AD⊥EA.
又平面EAD⊥平面ABCD,平面EAD∩平面ABCD=AD,∴EA⊥平面ABCD,(7分)
以A為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以AB,AD,AE為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
則B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),F(xiàn)(0,1,1).
設(shè)平面BCF的法向量為→n=(x,y,z),
→BC=(0,1,0),→CF=(-1,0,1),→CD=(-1,1,0),
則{→n•→BC=y=0→n•→CF=−x+z=0,令x=1,得→n=(1,0,1).(9分)
設(shè)平面CDF的法向量為→m,同理可求得→m=(1,1,1),(11分)
∴cos<→m,→n>=→m•→n|→m|•|→n|=√63.
∴平面ECD與平面BCF所成銳二面角的余弦值為√63.(12分)
點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明,考查二面角的余弦值的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運(yùn)用.
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A. | 5 | B. | 10 | C. | 15 | D. | 20 |
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A. | 相交直線 | B. | 雙曲線 | C. | 拋物線 | D. | 橢圓弧 |
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