【題目】已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,向量=(cos B,cos C),=(2a+c,b),且⊥.
(1)求角B的大;
(2)若b=,求a+c的范圍.
【答案】(1)(2)(,2].
【解析】
(1)利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則列出關(guān)系式,利用正弦定理化簡(jiǎn),整理后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn),求出cosB的值,即可確定出B的度數(shù);
(2)由b及cosB的值,利用余弦定理列出關(guān)系式,再利用基本不等式求出a+c的最大值,最后利用三角形兩邊之和大于第三邊求出a+c的范圍即可.
(1)∵=(cos B,cos C),=(2a+c,b),且⊥.
∴(2a+c)cos B+bcos C=0,∴cos B(2sin A+sin C)+sin Bcos C=0,
∴2cos Bsin A+cos Bsin C+sin Bcos C=0.即2cos Bsin A=-sin(B+C)=-sin A.
∵A∈(0,π),∴sin A≠0,∴cos B=-.∵0<B<π,∴B=.
(2)由余弦定理得
b2=a2+c2-2accosπ=a2+c2+ac=(a+c)2-ac≥(a+c)2-= (a+c)2,
當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)取等號(hào).∴(a+c)2≤4,故a+c≤2.
又a+c>b=,∴a+c∈(,2].即a+c的取值范圍是(,2].
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,是圓的直徑,是圓上除、外的一點(diǎn),平面,四邊形為平行四邊形,,.
(1)求證:平面;
(2)當(dāng)三棱錐體積取最大值時(shí),求此刻點(diǎn)到平面的距離.
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【題目】如圖所示是一個(gè)正三棱臺(tái),而且下底面邊長(zhǎng)為2,上底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都為1.O與分別是下底面與上底面的中心.
(1)求棱臺(tái)的斜高;
(2)求棱臺(tái)的高.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐中,,,為的中點(diǎn).
(1)證明:平面;
(2)若點(diǎn)在棱上,且,求點(diǎn)到平面的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】圖1是由矩形和菱形組成的一個(gè)平面圖形,其中, ,將其沿折起使得與重合,連結(jié),如圖2.
(1)證明圖2中的四點(diǎn)共面,且平面平面;
(2)求圖2中的四邊形的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校高三有名學(xué)生,按性別分層抽樣從高三學(xué)生中抽取名男生,名女生期未某學(xué)科的考試成績(jī),得到如下所示男生成績(jī)的頻率分布直方圖和女生成績(jī)的莖葉圖.
(1)試計(jì)算男生考試成績(jī)的平均分與女生考試成績(jī)的中位數(shù)(每組數(shù)據(jù)取區(qū)間的中點(diǎn)值);
(2)根據(jù)頻率分布直方圖可以認(rèn)為,男生這次考試的成績(jī)服從正態(tài)分布,試計(jì)算男生成績(jī)落在區(qū)間內(nèi)的概率及全?荚嚦煽(jī)?cè)?/span>內(nèi)的男生的人數(shù)(結(jié)果保留整數(shù));
(3)若從抽取的名學(xué)生中考試成績(jī)優(yōu)勢(shì)(分以上包括分)的學(xué)生中再選取名學(xué)生,作學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)交流,記抽取的男生人數(shù)為,求的分布列與數(shù)學(xué)期望.
參考數(shù)據(jù),若,則,,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為,為軸上的點(diǎn).
(1)過點(diǎn)作直線與相切,求切線的方程;
(2)如果存在過點(diǎn)的直線與拋物線交于,兩點(diǎn),且直線與的傾斜角互補(bǔ),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,E為PA的中點(diǎn),F為BC的中點(diǎn),底面ABCD是菱形,對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)O.求證:
(1)平面EFO∥平面PCD;
(2)平面PAC⊥平面PBD.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知三個(gè)關(guān)于x的不等式:①;②;③
(1)分別求出①和②的解集;
(2)若同時(shí)滿足①和②的x值也滿足③,求m的取值范圍;
(3)若同時(shí)滿足③的x至少滿足①和②的一個(gè),求m的取值范圍.
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