Question

已知函數(shù)（x∈R）．
（1）已知點在f（x）的圖象上，判斷其關于點對稱的點是否仍在f（x）的圖象上；
（2）求證：函數(shù)f（x）的圖象關于點對稱；
（3）若數(shù)列{a_n}的通項公式為（m∈{N}^{*}，n=1，2，…，m），求數(shù)列{a_n}的前m項和S_m．

Answer 1

解：（1）顯然關于點
的對稱點為，滿足函數(shù)解析式，
所以關于點的對稱點仍在該函數(shù)的圖象上．（3分）
（2）設點P₀（x₀，y₀）是函數(shù)f（x）的圖象上任意一點，
其關于點的對稱點為P（x，y）．
由得
所以，點P的坐標為P．（6分）
由點P₀（x₀，y₀）在函數(shù)f（x）的圖象上，
得．
∵，
=，
∴點P在函數(shù)f（x）的圖象上．
∴函數(shù)f（x）的圖象關于點對稱．（9分）
（3）由（2）可知，，
所以，
即，∴，（12分）
由S_m=a₁+a₂+a₃++a_m-1+a_m，①
得S_m=a_m-1+a_m-2+a_m-3++a₁+a_m，②
由①+②，得，
∴．（16分）
分析：（1）由關于點的對稱點為，滿足函數(shù)解析式，所以關于點的對稱點仍在該函數(shù)的圖象上．
（2）設點P₀（x₀，y₀）是函數(shù)f（x）的圖象上任意一點，其關于點的對稱點為P（x，y）．由得點P的坐標為P．由點P₀（x₀，y₀）在函數(shù)f（x）的圖象上，得．由此能夠推導出函數(shù)f（x）的圖象關于點對稱．
（3）由，知，由S_m=a₁+a₂+a₃++a_m-1+a_m，得S_m=a_m-1+a_m-2+a_m-3++a₁+a_m，由此能求出數(shù)列{a_n}的前m項和S_m．
點評：本題考查數(shù)列的綜合應用，解題時要注意公式的合理運用．