Question

（本題滿分12分）設(shè)二次函數(shù)，關(guān)于的不等式的解集有且只有一個元素.

（1）設(shè)數(shù)列的前項和求數(shù)列的通項公式；

（2）記，求數(shù)列中是否存在不同的三項能組成等比數(shù)列？請說明理由.

Answer 1

（1） （2）數(shù)列中不存在不同的三項能組成等

比數(shù)列

【解析】

試題分析：第（1）問由不等式的解集有且只有一個元素，得到，然后由此求出數(shù)列的通項公式，由求通項時注意檢驗初始項是否滿足；第（2）問判斷數(shù)列中是否存在不同的三項能組成等比數(shù)列，基本方法是先假設(shè)它們成等比數(shù)列，再證明問題是否有解．

試題解析：（1）因為關(guān)于的不等式的解集有且只有一個元素，

所以二次函數(shù)（）的圖象與軸相切，

則，考慮到，所以．

從而，

所以數(shù)列的前項和（）．

于是當(dāng)，時，，

當(dāng)時，，不適合上式．

所以數(shù)列的通項公式為.

（2）．

假設(shè)數(shù)列中存在三項，，（正整數(shù)，，互不相等）成等比數(shù)列，則，

即，整理得．

因為，，都是正整數(shù)，所以，

于是，即，從而與矛盾．

故數(shù)列中不存在不同的三項能組成等比數(shù)列．

考點：數(shù)列通項公式，等比數(shù)列性質(zhì)．