Question

如圖所示，在直角梯形PBCD中，PD∥BC，∠D=90°，PD=9，BC=3，CD=4，點A在PD上，且PA=2AD，將△PAB沿AB折到△SAB的位置，使SB⊥BC．
（Ⅰ）求證：SA⊥AD；
（Ⅱ）點E在SD上，且SE=

1

3

SD，求三棱錐E-ACD的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：計算題,證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由平面幾何的知識，證得四邊形ABCD為矩形，再由線面垂直的判定定理證得BC⊥平面SAB，從而證得
SA⊥AD；
（Ⅱ）在平面SAD內(nèi)，過E作EH⊥AD，垂足為H，通過線面垂直的判定定理，證EH⊥平面ABD，并求出EH的長，再由三棱錐的體積公式即可得到結(jié)果．

解答： （ I）證明：∵PD=9，PA=2AD，
∴PA=6，AD=3，
又∵BC=3，AD∥BC，∠D=90°，
∴四邊形ABCD為矩形，AB⊥BC，
又∵SB⊥BC，AB∩SB=B，∴BC⊥平面SAB，
從而BC⊥SA，又∵BC∥AD，
∴SA⊥AD；              
（Ⅱ）解：在平面SAD內(nèi)，過E作EH⊥AD，垂足為H，
∵SA⊥AD，EH⊥AD，∴EH∥SA，
又∵SA⊥AB，∴EH⊥AB，而AB∩AD=A，∴EH⊥平面ABD，
即EH是三棱錐E-ACD底面ACD的高，
由EH∥SA，知

EH

SA

=

ED

SD

，又SE=

1

3

SD，∴

EH

SA

=

ED

SD

=

2

3

，
∴EH=

2

3

SA=4，
故V_E-ACD=

1

3

×

1

2

AD•CD•EH=

1

6

×3×4×4=8．

點評：本題考查直線與平面的位置關(guān)系，考查線面垂直的判定和性質(zhì)，同時考查棱錐的體積公式，屬于中檔題．