(2012•湖南模擬)已知數(shù)列{an}的相鄰兩項(xiàng)an,an+1是關(guān)于x的方程x2-2nx+bn=0,(n∈N*)的兩根,且a1=1
(1)求證:數(shù)列{an-
13
×2n}
是等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn;
(3)設(shè)函數(shù)f(n)=bn-t•sn(n∈N*),若f(n)>0對(duì)任意的n∈N*都成立,求t的取值范圍.
分析:(1)利用an,an+1是關(guān)于x的方程x2-2n•x+bn=0(n∈N*)的兩實(shí)根,可得an+an+1=2n,整理變形可得數(shù)列{an-
1
3
×2n}
是等比數(shù)列;
(2)確定數(shù)列的同學(xué),分組求和,可得結(jié)論;
(3)關(guān)鍵bn=an•an+1,bn-tSn>0,可得不等式,分類討論,可求t的取值范圍.
解答:(1)證明:∵an,an+1是關(guān)于x的方程x2-2n•x+bn=0(n∈N*)的兩實(shí)根,
∴an+an+1=2n,∴an+1-
1
3
2n+1=-(an-
1
3
2n)

an+1-
1
3
2n+1
an-
1
3
2n
=-1

∴數(shù)列{an-
1
3
×2n}
是等比數(shù)列;
(2)解:∵a1=1,∴a1-
2
3
=
1
3
,   q=-1∴an=
1
3
[2n-(-1)n]

∴Sn=a1+a2+…+an
=
1
3
[(2+22+…+2n)-((-1)+(-1)2+…+(-1)n)]=
1
3
[
2(1-2n)
1-2
-
(-1)(1-(-1)n)
1+1
]

=
1
3
[2n+1-2-
-1+(-1)n
2
]
;
(3)解:∵bn=an•an+1,∴bn=
1
9
[2n-(-1)n][2n+1-(-1)n+1]=
1
9
[22n+1-(-2)n-1]>0

∵bn-tSn>0,∴
1
9
[22n+1-(-2)n-1]-t•
1
3
[2n+1-2-
(-1)n-1
2
]>0

∴當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),
1
9
[22n+1+2n-1]-
t
3
(2n+1-1)>0∴t<
1
3
(2n+1)
,∵n為奇數(shù),∴t<1;
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),
1
9
[22n+1-2n-1]-
t
3
(2n+1-2)>0
,∴
1
9
[22n+1-2n-1]-
2t
3
(2n-1)>0

∴t<
1
6
(2n+1+1)
對(duì)任意正偶數(shù)n都成立,∴t<
3
2

綜上所述,t的取值范圍為t<1.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查等比關(guān)系的確定、數(shù)列的求和、不等式的解法、數(shù)列與函數(shù)的綜合等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力與轉(zhuǎn)化思想.屬于中檔題.
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(2012•湖南模擬)已知函數(shù)f(x)=
1
2
x2+x-(x+1)ln(x+1)

(1)判斷f(x)的單調(diào)性;
(2)記φ(x)=f′(x-1)-k(x-1),若函數(shù)φ(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2(x1<x2),求證:φ′(
x1+x2
2
)>0

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(2012•湖南模擬)已知向量
m
=(2cos2x,
3
),
n
=(1,sin2x)
,函數(shù)f(x)=
m
n

(1)求函數(shù)f(x)的對(duì)稱中心;
(2)在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對(duì)邊,且f(C)=3,c=1,ab=2
3
,且a>b,求a,b的值.

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(2012•湖南模擬)設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)的導(dǎo)函數(shù)f′(x),f′(x)在區(qū)間(a,b)的導(dǎo)函數(shù)f″(x),若在區(qū)間(a,b)上的f″(x)<0恒成立,則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上為“凸函數(shù)”,已知f(x)=
1
12
x4-
1
6
mx3-
3
2
x2
,若當(dāng)實(shí)數(shù)m滿足|m|≤2時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上為“凸函數(shù)”,則b-a的最大值為( 。

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(2012•湖南模擬)已知函數(shù)f(x)=
-x-1(x<-2)
x+3(-2≤x≤
1
2
)
5x+1(x>
1
2
)
(x∈R),
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的最小值;
(Ⅱ)已知m∈R,命題p:關(guān)于x的不等式f(x)≥m2+2m-2對(duì)任意x∈R恒成立;命題q:函數(shù)y=(m2-1)x是增函數(shù).若“p或q”為真,“p且q”為假,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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(2012•湖南模擬)設(shè)曲線y=xn+1(n∈N)在點(diǎn)(1,1)處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xn,則x1•x2•x3•…•x2012的值為
1
2013
1
2013

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