精英家教網(wǎng)如圖,有一塊半徑為2的半圓形鋼板,計劃剪裁成等腰梯形ABCD的形狀,它的下底AB是圓O的直徑,上底CD的端點在圓周上.
(1)求梯形ABCD的周長y與腰長x間的函數(shù)解析式,并求出它的定義域;
(2)求梯形ABCD的周長y的最大值.
分析:(1)作DE⊥AB于E,連接BD,根據(jù)相似關(guān)系求出AE,而CD=AB-2AE,從而求出梯形ABCD的周長y與腰長x間的函數(shù)解析式,根據(jù)AD>0,AE>0,CD>0可求出定義域;
(2)利用二次函數(shù)在給定區(qū)間上求出最值的知識可求出函數(shù)的最大值.
解答:解:(1)如圖,作DE⊥AB于E,連接BD.精英家教網(wǎng)
因為AB為直徑,所以∠ADB=90°.(1分)
在Rt△ADB與Rt△AED中,∠ADB=90°=∠AED,∠BAD=∠DAE,
所以Rt△ADB∽Rt△AED.(3分)
所以
AD
AB
=
AE
AD
,即AE=
AD2
AB

又AD=x,AB=4,所以AE=
x2
4
.(5分)
所以CD=AB-2AE=4-2×
x2
4
=4-
x2
2
,(6分)
于是y=AB+BC+CD+AD=4+x+4-
x2
2
+x=-
1
2
x2+2x+8
(7分)
由于AD>0,AE>0,CD>0,所以x>0,
x2
4
>0,4-
x2
2
>0
,
解得0<x<2
2
.(9分)
故所求的函數(shù)為y=-
1
2
x2+2x+8(0<x<2
2
)
.(10分)
(2)因為y=-
1
2
x2+2x+8=-
1
2
(x-2)2+10
,(12分)
0<x<2
2
,所以,當x=2時,y有最大值10.(14分)
點評:射影定理的應(yīng)用是解決此題的關(guān)鍵,二次函數(shù)在解決實際問題中求解最值的常用的方法,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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如圖,有一塊半徑為2的半圓形鋼板,現(xiàn)將其裁剪為等腰梯形ABCD的形狀.它的下底AB是圓O的直徑,上底CD的端點在圓周上.
(1)寫出這個梯形的周長y與腰長x之間的函數(shù)關(guān)系式,并求出定義域;
(2)求y的最大值.

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精英家教網(wǎng)如圖,有一塊半徑為2的半圓形鋼板,計劃剪裁成等腰梯形ABCD的形狀,它的下底AB是圓的直徑,上底CD的端點在圓周上,寫出這個梯形周長y和腰長x間的函數(shù)解析式,定義域,并求出周長的最大值.

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如圖,有一塊半徑為2的半圓形鋼板,計劃剪裁成等腰梯形ABCD的形狀,它的下底AB是圓O的直徑,上底CD的端點在圓周上.
(1)求梯形ABCD的周長y與腰長x間的函數(shù)解析式,并求出它的定義域;
(2)求梯形ABCD的周長y的最大值.

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科目:高中數(shù)學 來源:2010-2011學年廣東省肇慶市高一(上)期末數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題

如圖,有一塊半徑為2的半圓形鋼板,計劃剪裁成等腰梯形ABCD的形狀,它的下底AB是圓O的直徑,上底CD的端點在圓周上.
(1)求梯形ABCD的周長y與腰長x間的函數(shù)解析式,并求出它的定義域;
(2)求梯形ABCD的周長y的最大值.

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