Question

在△ABC中，A，B，C的對邊分別為a，b，c．
（1）若a，b，c成等比數列，求的值域；
（2）若a，b，c成等差數列，且，求cosB的值．

Answer 1

解：（1）∵a，b，c成等比數列，
∴b²=ac，又a²+c²≥2ac，
∴cosB=≥=，
當且僅當a=c時取等號，∴0＜B≤，
f（B）=sinB+cosB=2sin（B+），
又B+∈（，]，∴≤f（B）≤2，
則f（B）的值域為[，2]；
（2）∵a+c=2b，∴sinA+sinC=2sinB，
又A-C=，A+C=π-B，
∴A=-，C=-，
∴sin（-）+sin（-）=2sinB，
展開化簡得：cos=2×2sincos，
∵cos≠0，∴sin=，
∴cosB=1-2sin²=1-=．
分析：（1）由a，b，c成等比數列，利用等比數列的性質得到b²=ac，再利用余弦定理表示出cosB，將b²=ac代入并利用基本不等式變形，求出cosB的范圍，根據余弦函數的圖象與性質可得出B的取值范圍，然后將所求的式子提取2，利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化為一個角的正弦函數，由B的范圍求出這個角的范圍，根據正弦函數的值域即可求出f（B）的取值范圍；
（2）由a，b，c成等差數列，利用等差數列的性質得到2b=a+c，再利用正弦定理化簡得到2sinB=sinA+sinC，由B的度數求出A+C的度數，再由A-C的度數，兩者聯(lián)立用B表示出A和C，代入2sinB=sinA+sinC中，等號左邊利用和差化積公式變形后，根據cos不為0，可得出sin的值，利用二倍角的余弦函數公式化簡cosB后，將sin的值代入即可求出值．
點評：此題考查了等比、等差數列的性質，基本不等式，余弦定理，兩角和與差的正弦函數公式，正弦函數的定義域與值域，二倍角的余弦函數公式，以及和差化積公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．