Question

對(duì)于每個(gè)正整數(shù)n，以s(n)表示滿足如下條件的最大正整數(shù)：對(duì)于每個(gè)正整數(shù)k≤s(n)，n²都可以表示成k個(gè)正整數(shù)的平方之和．

1．證明：對(duì)于每個(gè)正整數(shù)n≥4，都有s(n)≤n²－14；

2．試找出一個(gè)正整數(shù)n，使得s(n)＝n²－14；

3．證明：存在無(wú)限多個(gè)正整數(shù)n，使得s(n)＝n²－14．

Answer 1

解析：用反證法證明如下：

假設(shè)對(duì)某個(gè)n≥4，有s(n)≥n²－14，則存在k＝n²－13個(gè)正整數(shù)a₁，a₂，…，a_k，使得

于是就有

從而

3b＋8c＝13

這表明c＝0或1；但相應(yīng)的b不為整數(shù)，矛盾．

2．每個(gè)大于13的正整數(shù)m可以表為3b＋8c，其中b、c為非負(fù)整數(shù)．事實(shí)上，若m＝3s＋1，則s≥5，m＝3(s－5)＋2×8．若m＝3s＋2，則s≥4，m＝3(s－2)＋8．

由

即知n²可表為n²－m個(gè)平方和，從而n²可表為n²－14，n²－15，…，

對(duì)于n＝13，有

n²＝12²＋5²＝12²＋4²＋3²＝8²＋8²＋5²＋4²

由于8²可表為4個(gè)4²的和，4²可表為4個(gè)2²的和，2²可表為4個(gè)1²的和，所以13²＝8²＋8²＋5²＋4²可表為4，7，10，…，43個(gè)平方的和，又由于5²＝4²＋3²，13²可表為5，8，11，…，44個(gè)平方的和．

由于12²可表為4個(gè)6²的和，6²可表為4個(gè)3²的和，所以13²＝12²＋4²＋3²可表為3，6，9，…，33個(gè)平方的和．

為18＋2×9＝36，18＋2×12＝42個(gè)平方的和．再由4²為4個(gè)2²的和，13²也可表為39個(gè)平方的和．

綜上所述，13²可表為1，2，…，44個(gè)平方的和．

3．令n＝2^k×13．

因?yàn)?3²可表為1，2，…，155個(gè)平方的和，2²可表為4個(gè)平方的和，所以13²×2²可表為1，2，…，155×4個(gè)平方的和，13²×2⁴可表為1，2，…，155×4²個(gè)平方的和，…，n²＝13²×2^2k可表為1，2，…，155×4^k個(gè)平方的和．

s(n)＝n²－14