Question

某學(xué)校每星期一供應(yīng)1000名學(xué)生A、B兩種菜．調(diào)查表明，凡在這星期一選A種菜的，下星期一會有20%改選B種菜；而選B種菜的，下星期一會有30%改選A種菜．設(shè)第n個星期一選A、B兩種菜分別有a_n、b_n名學(xué)生．
（1）若a₁=500，求a₂、a₃；
（2）求a_n，并說明隨著時間推移，選A種菜的學(xué)生將穩(wěn)定在600名附近．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)“凡是在這星期一選A菜的，下星期一會有20%改選B；而選B菜的，下星期一則有30%改選A”直接建立等式關(guān)系；
（2）根據(jù)題意可得a_n=a_n-1×（1-20%）+b_n-1×30%，可轉(zhuǎn)換成{a_n-600}是以a₁-600為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，可求出a_n，根據(jù)數(shù)列的解析式可求推出選A種菜的學(xué)生將穩(wěn)定在600名附近．
解答：解：（1）a₂=500×（1-20%）+（1000-500）×30%=550…（2分），
a₃=550×（1-20%）+（1000-550）×30%=575…（4分）．
（2）?n∈N+，n＞1，a_n=a_n-1×（1-20%）+b_n-1×30%…（5分）；
=a_n-1×（1-20%）+（1000-a_n-1）×30%…（7分）
所以a_n-600=（a_n-1-600）…（9分），
{a_n-600}是以a₁-600為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列…（10分），
∴a_n-600=（a₁-600）×…（11分），
即a_n=600+（a₁-600）×…（12分），
隨著時間推移，即n越來越大時，趨于0…（13分），
所以（a₁-600）×趨于0，a_n趨于600并穩(wěn)定在600附近…（14分）．
點(diǎn)評：本題主要考查了數(shù)列知識在生產(chǎn)實(shí)際中的應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，理清題設(shè)中的數(shù)量關(guān)系，合理地運(yùn)用數(shù)列知識進(jìn)行求解，屬于中檔題．