Question

（14分）設(shè)函數(shù)，其中。

⑴當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；

⑵求函數(shù)的極值點(diǎn)；

⑶證明對(duì)任意的正整數(shù)，不等式成立。

 

Answer 1

【答案】

⑴當(dāng)時(shí)函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增

⑵時(shí)，有唯一極小值點(diǎn)；

時(shí)，有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)；時(shí)，無(wú)極值點(diǎn)。

⑶證明見(jiàn)解析

【解析】本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用，求解函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值，以及函數(shù)與不等式的綜合運(yùn)用。

（1）先求解函數(shù)的定義域，然后求解導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于零或者小于零得到單調(diào)區(qū)間。

（2）由⑴得當(dāng)時(shí)函數(shù)無(wú)極值點(diǎn)，接下來(lái)對(duì)于參數(shù)b，進(jìn)行分類(lèi)討論，看導(dǎo)數(shù)為零的解，進(jìn)而確定極值的問(wèn)題。

（3）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，令函數(shù)，

則,當(dāng)時(shí)，

函數(shù)在上單調(diào)遞增，又,時(shí)，恒有

即恒成立，從而得到證明。

解：⑴由題意知的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012082414551646603905/SYS201208241455548825150649_DA.files/image003.png">（1分），

設(shè)，其圖象的對(duì)稱(chēng)軸為，

當(dāng)時(shí)，,即在上恒成立,當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增�！�……………………（3分）

⑵①由⑴得當(dāng)時(shí)函數(shù)無(wú)極值點(diǎn)………………………（4分）

②時(shí)，有兩個(gè)相同的解

時(shí)，，時(shí)，

函數(shù)在上無(wú)極值點(diǎn)………………………（5分）

③當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不同解，，

時(shí)，，即

時(shí)，、隨的變化情況如下表：

由此表可知時(shí)，有唯一極小值點(diǎn)；………………（7分）

當(dāng)時(shí)，，,此時(shí)，、隨的變化情況如下表：

由此表可知：時(shí)，有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)；……………（9分）

綜上所述：時(shí)，有唯一極小值點(diǎn)；時(shí)，有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)；時(shí)，無(wú)極值點(diǎn)。（10分）

⑶當(dāng)時(shí)，函數(shù)，令函數(shù)，

則,當(dāng)時(shí)，

函數(shù)在上單調(diào)遞增，又,時(shí)，恒有

即恒成立…………………………（12分）

故當(dāng)時(shí)，有…………………………（13分）

對(duì)任意正整數(shù)，取,則有，故結(jié)論成立�！�…（14分）