已知函數(shù)f(x)＝x2－8lnx，g(x)＝－x2＋14x.

(1)求函數(shù)f(x)在點(1，f(1))處的切線方程；

(2)若函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間(a，a＋1)上均為增函數(shù)，求a的取值范圍；

(3)若方程f(x)＝g(x)＋m有唯一解，試求實數(shù)m的值．

(1)因為f′(x)＝2x－，所以切線的斜率k＝f′(1)＝－6.

又f(1)＝1，故所求的切線方程為y－1＝－6(x－1)．即y＝－6x＋7.

(2)因為f′(x)＝，

又x>0，所以當x>2時，f′(x)>0；當0<x<2時，f′(x)<0.

即f(x)在(2，＋∞)上單調(diào)遞增，在(0,2)上單調(diào)遞減．

又g(x)＝－(x－7)2＋49，所以g(x)在(－∞，7)上單調(diào)遞增，在(7，＋∞)上單調(diào)遞減．

欲使函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間(a，a＋1)上均為增函數(shù)，則解得2≤a≤6.

(3)原方程等價于2x2－8lnx－14x＝m，

令h(x)＝2x2－8lnx－14x，則原方程即為h(x)＝m.

因為當x>0時原方程有唯一解，所以函數(shù)y＝h(x)與y＝m的圖像在y軸右側(cè)有唯一的交點．

又h′(x)＝，且x>0，

所以當x>4時，h′(x)>0；當0<x<4時，h′(x)<0.

即h(x)在(4，＋∞)上單調(diào)遞增，在(0,4)上單調(diào)遞減，故h(x)在x＝4處取得最小值，從而當x>0時原方程有唯一解的充要條件是m＝h(4)＝－16ln2－24.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)＝x|m－x|(x∈R)，且f(4)＝0.

(1)求實數(shù)m的值；

(2)作出函數(shù)f(x)的圖像；

(3)根據(jù)圖像指出f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；

(4)根據(jù)圖像寫出不等式f(x)>0的解集；

(5)求當x∈[1,5)時函數(shù)的值域．

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科目：高中數(shù)學 來源：新課標高三數(shù)學對數(shù)與對數(shù)函數(shù)、反比例函數(shù)與冪函數(shù)專項訓練（河北） 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)＝loga(x＋1)，g(x)＝2loga(2x＋t)(t∈R)，其中x∈[0,15]，a＞0，且a≠1.
(1)若1是關于x的方程f(x)－g(x)＝0的一個解，求t的值；
(2)當0＜a＜1時，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求t的取值范圍；

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科目：高中數(shù)學 來源：2014屆江西省高二下學期第二次月考文科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)＝|x＋1|，g(x)＝2|x|＋a.

(1)當a＝0時，解不等式f(x)≥g(x)；

(2)若任意x∈R，f(x)g(x)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2013屆新課標高三配套第四次月考文科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)＝x3＋x2－ax－a，x∈R，其中a＞0.

（1）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)f(x)在區(qū)間(－2,0)內(nèi)恰有兩個零點，求a的取值范圍；

（3）當a＝1時，設函數(shù)f(x)在區(qū)間[t，t＋3]上的最大值為M(t)，最小值為m(t)，記g(t)＝M(t)－m(t)，求函數(shù)g(t)在區(qū)間[－3，－1]上的最小值.

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年湖南省、岳陽縣一中高三11月聯(lián)考理科數(shù)學 題型：解答題

（本小題滿分13分）(第一問8分，第二問5分)

已知函數(shù)f(x)＝2lnx，g(x)＝ax2＋3x.

（1）設直線x＝1與曲線y＝f(x)和y＝g(x)分別相交于點P、Q，且曲線y＝f(x)和y＝g(x)在點P、Q處的切線平行，若方程f(x2＋1)＋g(x)＝3x＋k有四個不同的實根，求實數(shù)k的取值范圍；

（2）設函數(shù)F(x)滿足F(x)＋x［f′(x)－g′(x)］＝－3x2－(a＋6)x＋1.其中f′(x)，g′(x)分別是函數(shù)f(x)與g(x)的導函數(shù)；試問是否存在實數(shù)a，使得當x∈(0,1］時，F(x)取得最大值，若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由.

 

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