Question

5．已知a＞0，b＞0，且$\frac{1}{a}+\frac{1}=2$．
（1）求ab的最小值；
（2）求a+2b的最小值，并求出a，b相應(yīng)的取值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，由基本不等式的性質(zhì)可得2=（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$）≥2$\sqrt{\frac{1}{ab}}$，將其化簡變形可得ab≥1，即可得答案；
（2）根據(jù)題意，a+2b=$\frac{1}{2}$（a+2b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$），進而變形可得$\frac{1}{2}$（a+2b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$）=$\frac{1}{2}$（5+$\frac{2b}{a}$+$\frac{a}$），由基本不等式的性質(zhì)計算可得答案．

解答 解：（1）由a＞0，b＞0，且$\frac{1}{a}+\frac{1}=2$．
可得2=（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$）≥2$\sqrt{\frac{1}{ab}}$，變形可得ab≥1，
當且僅當b=a=1時取得等號，
則ab的最小值為1；
（2）a+2b=$\frac{1}{2}$（a+2b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$）=$\frac{1}{2}$（3+$\frac{2b}{a}$+$\frac{a}$）≥$\frac{1}{2}$（3+2$\sqrt{\frac{2b}{a}•\frac{a}}$）=$\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$；
等號成立的充要條件是a=$\sqrt{2}$b，
∴a+2b的最小值為$\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$；此時a=$\sqrt{2}$b．

點評 本題考查基本不等式的性質(zhì)運用，關(guān)鍵是靈活運用基本不等式的性質(zhì)，配湊基本不等式成立的條件．