Question

（本小題滿分13分）已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)，離心率．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)作與坐標(biāo)軸不垂直的直線，交橢圓于、兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，求的取值范圍；

（3）設(shè)點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，在軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使得、、三點(diǎn)共線？若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1），（2），（3）存在定點(diǎn)

【解析】

試題分析：首先根據(jù)條件求出橢圓的方程，第二步直線過(guò)右焦點(diǎn)可設(shè)出直線的方程，代入橢圓的方程，消去得出關(guān)于的一元二次方程，設(shè)而不求，利用根與系數(shù)關(guān)系寫出，

，再利用點(diǎn)在直線上求出，最后利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，根據(jù)得：，得出等式，由于，可得，第三步假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)，使得、、三點(diǎn)共線．依題意，寫出直線的方程，與軸的交點(diǎn)可令，求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，又點(diǎn)在直線上， ∴ ，代入減元可得，所以過(guò)軸上一個(gè)定點(diǎn).

試題解析：（1）設(shè)橢圓方程為，由題意，又 ，

∴，故橢圓方程為 .

由（1）得右焦點(diǎn)，則，設(shè)的方程為（）代入

得，，∴，

設(shè)則，， 且， ．

∴ ，，

由，得，

即:

，

∴ 當(dāng)時(shí)，有成立．

在軸上存在定點(diǎn)，使得、、三點(diǎn)共線．依題意，直線的方程為，令，則 ，點(diǎn)在直線上， ∴ ，

∴

，∴ 在軸上存在定點(diǎn)，使得、、三點(diǎn)共線．

考點(diǎn)：1.設(shè)而不求思想；2.解析幾何問(wèn)題向量運(yùn)算綜合；3.存在性命題的解題方法；