已知x＞0，y＞0，且x+y＞2．求證：
x
1+2y
，
y
1+2x
中至少有一個(gè)大于
1
3
．
分析：假設(shè)
x
1+2y
  ≤  
1
3
，
y
1+2x
 ≤ 
1
3
，由條件可得 x+y≤2，這與已知 x+y＞2矛盾，故假設(shè)不成立，命題得證．
解答：證明：反證法，假設(shè)
x
1+2y
  ≤  
1
3
，
y
1+2x
 ≤ 
1
3
，∵x＞0，y＞0，
∴3x≤1+2y，3y≤1+2x，∴3（x+y）≤2+2（x+y），∴x+y≤2，這與已知 x+y＞2矛盾，故假設(shè)不成立，
故
x
1+2y
，
y
1+2x
中至少有一個(gè)大于
1
3
．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查用反證法證明數(shù)學(xué)命題，推出矛盾，是解題的關(guān)鍵和難點(diǎn)，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
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已知x＞0，y＞0且x+y=xy，則x+y的取值范圍是（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：013

(2007寧夏，7)已知x＞0，y＞0，x，a，b，y成等差數(shù)列，x，c，d，y成等比數(shù)列，則的最小值是

[　　]

A．0

B．1

C．2

D．4

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已知x＞0，y＞0，x，a，b，y成等差數(shù)列，x，c，d，y成等比數(shù)列，則的最小值是

[　　]
A．

0

B．

1

C．

2

D．

4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2014屆江西省高一下學(xué)期第7周周練數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：選擇題

已知x＞0，y＞0，x，a，b，y成等差數(shù)列，x，c，d，y成等比數(shù)列，則的最小值是(　　) A．0  B．1  C．2  D．4

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：單選題

已知集合M={（x，y）|x+y=1}，映射f：M→N，在f作用下點(diǎn)（x，y）的象是（2x，2y），則集合N=


  1. A.
    {（x，y）|x+y=2，x＞0，y＞0}
  2. B.
    {（x，y）|xy=1，x＞0，y＞0}
  3. C.
    {（x，y）|xy=2，x＜0，y＜0}
  4. D.
    {（x，y）|xy=2，x＞0，y＞0}

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