Question

已知f（x）=ax²+x-a，a∈R．
（1）若不等式f（x）＞（a-1）x²+（2a+1）x-3a-1對任意實(shí)數(shù)x∈[-1，1]恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若a＜0，解不等式f（x）＞1．

Answer 1

解：（1）原不等式等價(jià)于x²-2ax+2a+1＞0對任意的實(shí)數(shù)x∈[-1，1]恒成立，
設(shè)g（x）=x²-2ax+2a+1=（x-a）²-a²+2a+1
①當(dāng)a＜-1時(shí)，g_min（x）=g（-1）=1+2a+2a+1＞0，得a∈Φ；
②當(dāng)-1≤a≤1時(shí)，，得；
③當(dāng)a＞1時(shí)，g_min（x）=g（1）=1-2a+2a+1＞0，得a＞1；
綜上
（3）不等式f（x）＞1即為ax²+x-a-1＞0，即（x-1）（ax+a+1）＞0
因?yàn)閍＜0，所以，因?yàn)?
所以當(dāng)時(shí)，，解集為{x|}；
當(dāng)時(shí)，（x-1）²＜0，解集為?；
當(dāng)時(shí)，，解集為{x|}
分析：（1）原不等式等價(jià)于x²-2ax+2a+1＞0對任意的實(shí)數(shù)x∈[-1，1]恒成立，設(shè)g（x）=x²-2ax+2a+1=（x-a）²-a²+2a+1，只需g_min（x）＞0即可．
（2）不等式f（x）＞1即為ax²+x-a-1＞0，即（x-1）（ax+a+1）＞0轉(zhuǎn)化為二次不等式求解，注意分類討論．
點(diǎn)評：本題考查二次函數(shù)性質(zhì)和一元二次不等式的解法，分類討論思想，均屬基本知識和能力．