Question

設(shè)p為常數(shù)，函數(shù)f（x）=log₂（1-x）+plog₂（1+x）為奇函數(shù)．
（1）求p的值；（2）若f（x）＞2，求x的取值范圍；（3）求證：x•f（x）≤0．

Answer 1

解：（1）f（x）=log₂（1-x）+plog₂（1+x）=log₂[（1-x）（1+x）^p]，
∵f（x）=log₂（1-x）+plog₂（1+x）為奇函數(shù)，
∴f（-x）=log₂[（1+x）（1-x）^p]=-f（x）==log₂[（1-x）^-1（1+x）^-p]，
∴，
∴p=-1．
（2）∵p=-1，
∴f（x）=，
∵f（x）＞2，
∴，
解得-1＜x＜-，
∴f（x）＞2時(shí)x的取值范圍是（-1，-）．
（3）∵f（x）=，
∴，解得-1＜x＜1．
當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，，f（x）=＞0，
∴x•f（x）＜0；
當(dāng)x=0時(shí)，=1，f（x）==0，
∴x•f（x）=0；
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，＜1，f（x）=＜0，
∴x•f（x）＜0．
綜上所述，x•f（x）≤0．
分析：（1）f（x）=log₂（1-x）+plog₂（1+x）=log₂（1-x）（1+x）^p，由f（x）=log₂（1-x）+plog₂（1+x）為奇函數(shù)，知f（-x）=log₂（1+x）（1-x）^p=-f（x）=，由此能求出p的值．
（2）由p=-1，知f（x）=，由f（x）＞2，，由此能求出f（x）＞2時(shí)x的取值范圍．
（3）由f（x）=的定義域?yàn)閧x|-1＜x＜1}，分-1＜x＜0，x=0和0＜x＜1三種情況進(jìn)行討論，證明x•f（x）≤0．
點(diǎn)評(píng)：本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，是中檔題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類討論思想的靈活運(yùn)用．