Question

已知函數(shù)f(x)=

1

3

ax3+bx2+2x-1，  g(x)=-x2+x+1，若函數(shù)f（x）與g（x）的圖象的一個(gè)交點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1，且兩曲線在點(diǎn)P處的切線互相垂直．
（1）求：函數(shù)h（x）=f（x）-x的單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）若對任意x₁，x₂∈[-1，1]，不等式f（x₁）+k＜g（x₂）恒成立，求：實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）與g（x）的圖象的一個(gè)交點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1，且兩曲線在點(diǎn)P處的切線互相垂直．求出f（x）=-x³+x²+2x-1，再利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）對任意x₁，x₂∈[-1，1]，f（x₁）+k＜g（x₂）恒成立?當(dāng)x₁，x₂∈[-1，1]時(shí)，f（x₁）_max+k＜g（x₂）_min成立，利用導(dǎo)數(shù)法，可求最值，從而得解．

解答：解：（1）由題意：g(1)=1=f(1)=

1

3

a+b+1，∴a+3b=0…①
又g′（x）=-2x+1，∴g（x）的圖象在點(diǎn)P切線的斜率為：g′（1）=-1
又f′（x）=ax²+2bx+2，∴f（x）的圖象在點(diǎn)P切線的斜率為：f′（1）=a+2b+2=1…②
由①②可解得：a=-3，b=1，∴f（x）=-x³+x²+2x-1，…（3分）
∴h（x）=f（x）-x=-x³+x²+x-1，∴h′（x）=-3x²+2x+1=（3x+1）（-x+1）
令h′（x）=（3x+1）（-x+1）≥0，解得：-

1

3

≤x≤1
即函數(shù)h（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[-

1

3

，  1]．…（6分）
（2）對任意x₁，x₂∈[-1，1]，f（x₁）+k＜g（x₂）恒成立?當(dāng)x₁，x₂∈[-1，1]時(shí)，f（x₁）_max+k＜g（x₂）_min成立…（★）        …（8分）
∵f′（x）=-3x²+2x+2，x∈[-1，1]，令f′（x）＞0，解得：

1- 7

3

＜x＜1
∴f（x）區(qū)間[-1，

1- 7

3

]上遞減，在區(qū)間[

1- 7

3

，  1]上遞增
又f（-1）=-1，f（1）=1，
∴當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，f（x）_max=f（1）=1…（10分）
而g(x)=-x2+x+1=-(x-

1

2

)2+

5

4

，
∴當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，g（x）_min=g（-1）=-1
∴由（★）式有：1+k＜-1，
∴實(shí)數(shù)k的取值范圍為：（-∞，-2）．…（12分）

點(diǎn)評：本題以函數(shù)為載體，考查函數(shù)的解析式，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查恒成立問題的處理，注意利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值．