Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面是邊長為2的正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=AD，點(diǎn)M、N分別為側(cè)棱PD、PC的中點(diǎn)．
（1）求證：CD∥平面AMN；
（2）求證：AM⊥平面PCD；
（3）求三棱錐C-AMN的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）根據(jù)線面平行的判定定理，只要證明CD∥MN；
（2）根據(jù)線面垂直的判定定理，只要證明AM⊥PD，AM⊥CD即可；
（3）利用三棱錐的體積公式，只要求出三棱錐A-PCD的條件即可．

解答： 證明：（1）∵M(jìn)，N分別是側(cè)棱PD，PC的中點(diǎn)，

CD∥MN CD?面AMN MN⊆面AMN

⇒CD∥面AMN；
（2）∵PA=AD，CD⊥DA，
∴AM⊥PD，
又

PA⊥CD CD⊥DA PA∩AD=A

⇒CD⊥面PAD，
∵AM?PAD，
∴CD⊥AM，
又PD∩CD=D，
AM⊥面PCD；
（3）VC-AMN=VA-MNC=

1

3

SMNC•AM=

1

3

×

1

2

×

1

2

S_PCD•AM=

1

3

×

1

4

SPCD•AM=

1

3

×

1

4

×

1

2

×2×2

2

×

2

=

1

3

．

點(diǎn)評：本題考查了空間線面關(guān)系，利用判定定理判定線面平行和線面垂直．