已知Ω={(x,y)|x+y≤6,x≥0,y≥0},A={(x,y)|x≤4,y≥0,x-y2≥0},若向區(qū)域Ω上隨機投一點P,則點P落入?yún)^(qū)域A的概率是 .
【答案】
分析:作出Ω對應的平面區(qū)域,得到如圖的Rt△OBC,其中B(6,0),C(0,6).而A={(x,y)|x≤4,y≥0,x-y
2≥0}表示的平面區(qū)域是在區(qū)域Ω內(nèi)部,位于曲線y=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124359184286623/SYS201310251243591842866007_DA/0.png)
下方、直線x=4左邊且在x軸上方的平面區(qū)域.利用定積分公式算出A對應的平面區(qū)域的面積S
1=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124359184286623/SYS201310251243591842866007_DA/1.png)
,再由Rt△OBC的面積為18,結合幾何概型計算公式即可算出所求的概率.
解答:解:∵Ω={(x,y)|x+y≤6,x≥0,y≥0},
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124359184286623/SYS201310251243591842866007_DA/images2.png)
∴作出Ω對應的平面區(qū)域,得到如圖的Rt△OBC,其中B(6,0),C(0,6)
又∵A={(x,y)|x≤4,y≥0,x-y
2≥0},
∴作出A對應的平面區(qū)域,得到曲線y=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124359184286623/SYS201310251243591842866007_DA/2.png)
下方、直線x=4左邊,
且在x軸上方的平面區(qū)域,
其面積為S
1=
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dx=
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=
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=
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=
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∵Rt
△OBC的面積為S=
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=18
∴向區(qū)域Ω上隨機投一點P,則點P落入?yún)^(qū)域A的概率P=
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=
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=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124359184286623/SYS201310251243591842866007_DA/14.png)
故答案為:
點評:本題給出兩個由不等式組確定的平面區(qū)域Ω和A,求向區(qū)域Ω內(nèi)投點能使點落在A內(nèi)的概率.著重考查了運用定積分公式計算曲邊三角形的面積和幾何概型計算公式等知識,屬于中檔題.