Question

給出下列四個(gè)命題：
①命題“?x∈R，cosx＞0”的否定是“?x∈R，cosx≤0”；
②若0＜a＜1，則函數(shù)f（x）=x²+a^x-3只有一個(gè)零點(diǎn)；
③函數(shù)的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間是；
④對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，有f（-x）=f（x），且當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＞0，則當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）＜0．
其中真命題的序號(hào)是    （把所有真命題的序號(hào)都填上）．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)含有量詞的命題否定法則，得①是真命題；通過(guò)舉例說(shuō)明，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在性定理，可得②不正確；根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可得③是真命題；根據(jù)函數(shù)奇偶性與導(dǎo)數(shù)奇偶性的關(guān)系，并結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)，可得④是真命題．
解答：解：根據(jù)含有量詞的命題否定法則，可得命題“?x∈R，cosx＞0”的否定是“?x∈R，cosx≤0”，故①正確；
若0＜a＜1，取a=，則f（x）=x²+（）^x-3滿足：f（0）=-1＜0且f（）=＞0
所以f（0）•f（）＜0在區(qū)間（0，）有一個(gè)零點(diǎn)，又有f（-1）=0，故函數(shù)f（x）有不止一個(gè)零點(diǎn)，故②不正確；
對(duì)于③，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024191447822406107/SYS201310241914478224061015_DA/6.png">的單調(diào)增區(qū)間為，（k∈Z）
所以取k=0，得函數(shù)的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間是，故③正確；
對(duì)于④，任意實(shí)數(shù)x有f（-x）=f（x），得函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，可得導(dǎo)數(shù)f'（x）是奇函數(shù)
所以根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，可得：“當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＞0”成立時(shí)，
必定有“當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）＜0”成立，故④正確．
故答案為①③④
點(diǎn)評(píng)：本題以命題真假的判斷為載體，考查了含有量詞命題的否定、函數(shù)零點(diǎn)存在性定理和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．