Question

記函數f（x）在區(qū)間D上的最大值與最小值分別為max{f（x）|x∈D}與min{f（x）|x∈D}．設函數f（x）=（1＜b＜3），g（x）=f（x）+ax，x∈[1，3]，令h（a）=max{g（x）|x∈[1，3]}-min{g（x）|x∈[1，3]}，記d（b）=min{h（a）|a∈R}．
（1）若函數g（x）在[1，3]上單調遞減，求a的取值范圍；
（2）當a=時，求h（a）關于a的表達式；
（3）試寫出h（a）的表達式，并求max{d（b）|b∈（1，3）}．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據函數f（x）=（1＜b＜3），g（x）=f（x）+ax，x∈[1，3]，可得函數g（x）的解析式，利用函數在[1，3]上單調遞減，即可求a的取值范圍；
（2）當b=2a+1時，0＜a＜1，，確定函數的單調性，求得函數的最值，即可求h（a）關于a的表達式；
（3），分類討論，確定函數的最小值，利用函數的單調性，確定d（b）=min{h（a）|a∈R}，從而可求max{d（b）|b∈（1，3）}．
解答：解：（1）∵函數f（x）=（1＜b＜3），g（x）=f（x）+ax，x∈[1，3]，
∴（2分）
由題意，∴a＜0    （4分）
（2）當b=2a+1時，0＜a＜1，，
顯然g（x）在[1，2a+1]上單調遞減，在[2a+1，3]上單調遞增，又此時g（1）=g（3）=5a+1
故max{g（x）|x∈[1，3]}=g（1）=g（3）=5a+1，min{g（x）|x∈[1，3]}=g（2a+1）=2a²+3a+1，（4分）
從而：h（a）=-2a²+2a，a∈（0，1）．                          （6分）
（3）
①當a≤0時，max{g（x）|x∈[1，3]}=g（1）=a+2b-1，min{g（x）|x∈[1，3]}=g（3）=3a+b
此時，h（a）=-2a+b-1
②當a≥1時，max{g（x）|x∈[1，3]}=g（3）=3a+b，min{g（x）|x∈[1，3]}=g（1）=a+2b-1
此時，h（a）=2a-b+1                （2分）
③當0＜a≤時，max{g（x）|x∈[1，3]}=g（1）=a+2b-1，min{g（x）|x∈[1，3]}=g（b）=ab+b，
此時，h（a）=a+b-ab-1
④當時，max{g（x）|x∈[1，3]}=g（3）=3a+b，min{g（x）|x∈[1，3]}=g（b）=ab+b，
此時，h（a）=3a-ab
故h（a）=，（4分）
因h（a）在（-∞，]上單調遞減，在[，+∞）單調遞增，
故d（b）=min{h（a）|a∈R}=h（）=，（6分）
故當b=2時，得max{d（b）|b∈（1，3）}=．        （8分）
點評：本題考查函數的解析式，考查函數的最值的求解，考查函數的單調性，考查分類討論的數學思想，確定函數的單調性是解題的關鍵．