Question

已知a，b都是正數(shù)，求證：

2ab

a+b

≤

a+b

2

≤

a2+b2 2

，當且僅當a=b時等號成立．

Answer 1

分析：欲證明：“

2ab

a+b

≤

a+b

2

≤

a2+b2 2

”，即要證明兩個不等式：“

2ab

a+b

≤

a+b

2

和

a+b

2

≤

a2+b2 2

”對于前一個可直接利用作差法；對于后一個先將兩邊的式子平方后再利用作差的方法，作差后結(jié)合基本不等式進行證明即得．

解答：證明：因為a＞0，b＞0

2ab

a+b

-

a+b

2

=

4ab-a2-2ab-b2

2(a+b)

=-

(a-b)2

2(a+b)

≤0?

2ab

a+b

≤

a+b

2

，
當且僅當a=b時取等號．（5分）(

a+b

2

)2-(

a2+b2 2

)2=

a2+2ab+b2

4

-

a2+b2

2

=

-a2+2ab-b2

4

=-

(a-b)2

4

?(

a+b

2

)2-(

a2+b2 2

)2≤0?(

a+b

2

)2≤(

a2+b2 2

)2?

a+b

2

≤

a2+b2 2

，
當且僅當a=b時取等號．（11分）
綜上知：

2ab

a+b

≤

a+b

2

≤

a2+b2 2

，當且僅當a=b時等號成立．（12分）

點評：這是一道課本習(xí)題．本題主要考查了不等式的證明方法，主要方法有：作差法，分析法，綜合法都可，作差法是指：應(yīng)用數(shù)的減法運算可以比較兩個數(shù)的大小，這就是“作差法”，既要比較兩個數(shù)a與b的大小，可先求出a與b的差a-b與0比較即可．