Question

如圖，直線l過(guò)點(diǎn)P（4，1），交x軸、y軸正半軸于A、B兩點(diǎn)；
（1）求△AOB面積的最小值及此時(shí)直線l的方程；
（2）已知直線l₁：y=kx+3k+3（k∈R）經(jīng)過(guò)定點(diǎn)D，當(dāng)點(diǎn)M（m，n）在線段DP上移動(dòng)時(shí)，求

n+2

m+1

的取值范圍；
（3）求

PA

•

PB

的最大值及此時(shí)直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）由題意設(shè)所求直線方程為

x

a

+

y

b

=1，可得

4

a

+

1

b

=1，由基本不等式可得ab的最小值，進(jìn)而可得答案；
（2）可得直線l₁過(guò)定點(diǎn)D（-3，3），

n+2

m+1

表示線段DP上的點(diǎn)與Q（-1，-2）連線的斜率，數(shù)形結(jié)合可得；
（3）可得

PA

=（a-4，-1），

PB

=（-4，b-1），進(jìn)而可得

PA

•

PB

=-（4a+b）（

4

a

+

1

b

）+17，由基本不等式可得．

解答：解：（1）由題意設(shè)所求直線方程為

x

a

+

y

b

=1，（a＞0，b＞0）
則A（a，0），B（0，b）
∵直線l過(guò)點(diǎn)P（4，1），∴

4

a

+

1

b

=1，
由基本不等式可得1=

4

a

+

1

b

≥2

4 a • 1 b

，
變形可得ab≥16，當(dāng)且僅當(dāng)

4

a

=

1

b

即a=8，b=2時(shí)取等號(hào)
∴△AOB面積S=

1

2

ab≥

1

2

×16=8，
∴△AOB面積的最小值為8，此時(shí)直線l的方程為

x

8

+

y

2

=1，即x+4y-8=0
（2）直線l₁：y=kx+3k+3可化為y-3=k（x+3），
由點(diǎn)斜式可知直線過(guò)定點(diǎn)D（-3，3），

n+2

m+1

表示線段DP上的點(diǎn)與Q（-1，-2）連線的斜率，
由又可得DQ的斜率為

3-(-2)

-3-(-1)

=-

5

2

，PQ的斜率為

-2-1

-1-4

=

3

5

數(shù)形結(jié)合可得

n+2

m+1

的取值范圍為[

3

5

，+∞）∪（-∞，-

5

2

]；
（3）由（1）可得

PA

=（a-4，-1），

PB

=（-4，b-1），
∴

PA

•

PB

=-4（a-4）-（b-1）=-4a-b+17=-（4a+b）（

4

a

+

1

b

）+17
=-（17+

4b

a

+

4a

b

）+17≤-（17+2

4b a • 4a b

）+17=-8，
當(dāng)且僅當(dāng)

4b

a

=

4a

b

，即a=b=5時(shí)取等號(hào)，
∴

PA

•

PB

的最大值為-8，此時(shí)直線l的方程為x+y-5=0

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，涉及直線的斜率與基本不等式，以及數(shù)形結(jié)合的思想，屬中檔題．