Question

17．已知函數(shù)f（x）=2sin（3x-$\frac{π}{3}$），x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期，單調(diào)減區(qū)間；
（2）若x∈[0，$\frac{π}{2}$]，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)最小正周期的公式T=$\frac{2π}{ω}$求得周期，令2kπ+$\frac{π}{2}$≤3x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，解得函數(shù)f（x）單調(diào)減區(qū)間．
（2）由已知可求3x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求其值域．

解答 解：（1）∵f（x）=2sin（3x-$\frac{π}{3}$），函數(shù)解析式中w=3，
∴函數(shù)的最小正周期T=$\frac{2π}{ω}$=$\frac{2π}{3}$，
∵令2kπ+$\frac{π}{2}$≤3x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，解得：$\frac{2kπ}{3}$+$\frac{5π}{18}$≤x≤$\frac{2kπ}{3}$+$\frac{11π}{18}$，k∈Z，
∴函數(shù)f（x）單調(diào)減區(qū)間為：[$\frac{2kπ}{3}$+$\frac{5π}{18}$，$\frac{2kπ}{3}$+$\frac{11π}{18}$]，k∈Z．
（2）∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴3x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴f（x）=2sin（3x-$\frac{π}{3}$）∈[-$\sqrt{3}$，2]，即f（x）的值域為[-$\sqrt{3}$，2]．

點評 本題主要考查了三角函數(shù)的周期性及其求法．考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應用，要熟練記憶三角函數(shù)中最小正周期的公式，屬于基礎題．