如圖 在三棱錐A-BCD中，側(cè)面ABD，ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜邊，且AD=
3
，BD=CD=1，另一側(cè)面ABC是正三角形．
（1）求A到平面BCD中的距離；
（2）求平面BAC與平面DAC夾角的余弦值．
分析：（1）AH⊥面BCD于H，連BH，CH，DH，則四邊形BHCD是正方形，可求A到平面BCD中的距離；
（2）求出平面ABC的法向量、平面ACD的一個(gè)法向量，利用向量的夾角公式，即可求平面BAC與平面DAC夾角的余弦值．
解答：解：（1）作AH⊥面BCD于H，連BH，CH，DH，則四邊形BHCD是正方形，
且AH=1，所以A到平面BCD距離為1．
（2）以D為原點(diǎn)，以A（x1，y1）為x軸，DC為y軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則B（1，0，0），C（0，1，0），A（1，1，1），
∴
BC
•
DA
=0，則BC⊥AD．
設(shè)平面ABC的法向量為
n1
=(x，y，z)，
則由
n1
⊥
BC
知：
n1
•
BC
=-x+y=0；
同理由
n1
⊥
CA
知：
n1
•
CA
=x+z=0．
可取x=1，則
n1
=(1，1，-1)．
同理，可求得平面ACD的一個(gè)法向量為
n2
=(1，0，-1)．
∴cos＜
n1
，
n2
＞=
n1
•
n2
|
n1
||
n2
|
=
6
3
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)面距離，考查面面角，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖在三棱錐P-ABC中，AB⊥PC，AC=2，BC=4，AB=2
3
，∠PCA=30°．
（1）求證：AB⊥平面PAC． （2）設(shè)二面角A-PC-B•的大小為θ•，求tanθ•的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013屆遼寧省高二下學(xué)期期中考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

如圖,在三棱錐A－BCD中,側(cè)面ABD、ACD是全等的直角三角形,AD是公共的斜邊,且AD＝,BD＝CD＝1,另一個(gè)側(cè)面是正三角形

(1)求證：AD^BC

(2)求二面角B－AC－D的大小

(3)在直線AC上是否存在一點(diǎn)E,使ED與面BCD成30°角？若存在,確定E的位置；若 

不存在,說明理由.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖,在三棱錐A—BCD中,側(cè)面ABD、ACD是全等的直角三角形,AD是公共的斜邊,且AD=,BD=CD=1.另一個(gè)側(cè)面ABC是正三角形.

(1)求證:AD⊥BC;

(2)求二面角B-AC-D的大小;

(3)在線段AC上是否存在一點(diǎn)E,使ED與面BCD成30°角?若存在,確定點(diǎn)E的位置;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖,在三棱錐A—BCD中,側(cè)面ABD、ACD是全等的直角三角形,AD是公共的斜邊,且AD=,BD=CD=1.另一個(gè)側(cè)面ABC是正三角形.

(1)求證:AD⊥BC;

(2)求二面角B-AC-D的大小;

(3)在線段AC上是否存在一點(diǎn)E,使ED與面BCD成30°角?若存在,確定點(diǎn)E的位置;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖,在三棱錐A—BCD中,側(cè)面ABD、ACD是以AD為公共斜邊的全等直角三角形, ,且AD=,BD=CD=1，側(cè)面ABC是正三角形�，F(xiàn)在線段AC上找一點(diǎn)E，使得直線ED與面BCD成30°角，這樣的點(diǎn)E（     ）

A．不存在     B．存在且為中點(diǎn)   C．存在且  D．存在且

 

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