Question

設(shè)f（x）=a（lnx）²-lnx-2．
（1）若f（e）=-2，求x的值；
（2）若x∈[

e

，e]時(shí)f（x）＜0，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由f（e）=-2，求得a=1，可得f（x）的解析式．由f（x）=0求得x的值．
（2）根據(jù) x∈[

e

，e]時(shí)，f（x）＜0，可得a＜

lnx+2

(lnx)2

=2(

1

lnx

)2+

1

lnx

．設(shè)t=

1

lnx

，則a＜2t²+t，t∈[1，2]．再利用關(guān)于t的二次函數(shù)2t²+t在t∈[1，2]上單調(diào)性，求得2t²+t的最小值，從而求得a的范圍．

解答： 解：（1）∵f（e）=-2，∴a（lne）²-lne-2=-2，即a=1，
∴f（x）=（lnx）²-lnx-2．
由f（x）=（lnx）²-lnx-2=0 得（lnx-2）（lnx+1）=0，
即lnx=2，或lnx=-1，即x=e²，或x=e^-1．
（2）∵x∈[

e

，e]時(shí)，f（x）＜0，
∴x∈[

e

，e]時(shí)，有a（lnx）²-lnx-2＜0，即a＜

lnx+2

(lnx)2

=2(

1

lnx

)2+

1

lnx

．
設(shè)t=

1

lnx

，則a＜2t²+t．由x∈[

e

，e]得t∈[1，2]．
因?yàn)殛P(guān)于t的二次函數(shù)2t²+t在t∈[1，2]上單調(diào)遞增，
∴2t²+t的最小值在t=1處取得，
這個(gè)最小值為3，∴a＜3．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)綜合應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．