Question

如圖，在三棱柱ABC---A₁B₁C₁中，D、E分別是AB、BB₁的中點(diǎn)，
（1）證明：BC₁∥平面A₁CD
（2）若AA₁=AB=BC=CA=2，側(cè)棱AA₁⊥底面ABC，求三棱錐A₁-CDE的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連接AC₁，交A₁C于點(diǎn)F，利用三角形的中位線證明BC₁∥DF，即可證明BC₁∥平面A₁CD；
（2）證明CD⊥平面AA₁B₁B，利用等體積，即可求三棱錐A₁-CDE的體積．

解答： （1）證明：連接AC₁，交A₁C于點(diǎn)F，
則F為AC₁中點(diǎn)，
又D是AB中點(diǎn)，連接DF，則BC₁∥DF．
因?yàn)镈F?平面A₁CD，BC₁?平面AC₁D，
所以BC₁∥平面A₁CD．…（6分）
（2）解：因?yàn)閭?cè)棱A₁A⊥底面ABC，所以A₁A⊥CD．
由已知AC=CB，D為AB的中點(diǎn)，
所以CD⊥AB．
又A₁A∩AB=A，于是CD⊥平面AA₁B₁B．…（9分）
由A₁A=AB=BC=CA=2，所以CD=

3

．
因?yàn)?span id="hr3ip25" class="MathJye">S△A1DE=S矩形AA1B1B-S△A1AD-S△A1B1E-S△BDE=4-1-1-

1

2

=

3

2

．所以VA1-CDE=VC-A1DE=

1

3

•

3

2

•

3

=

3

2

．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查三棱錐A₁-CDE的體積，考查線面平行，考查學(xué)生分析解決問題的能力，難度中等．