Question

給定雙曲線，過點(diǎn)B（1，1）能否作直線l，使直線l與雙曲線交于P，Q兩點(diǎn)，且點(diǎn)B是線段PQ的中點(diǎn)？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：先假設(shè)存在這樣的直線l，分類討論：斜率存在和斜率不存在設(shè)出直線l的方程，①當(dāng)k存在時(shí)，與雙曲線方程聯(lián)立，消去y，得到關(guān)于x的一元二次方程，直線與雙曲線相交于兩個(gè)不同點(diǎn)，則△=（2k²-2k）²-4（2-k²）（-k²+2k-3）＞0，可求k的范圍，再由B是線段PQ的中點(diǎn)，則=1，可求k，看是否矛盾，②當(dāng)k不存在時(shí)，直線經(jīng)過點(diǎn)B但不滿足條件，故符合條件的直線l不存在，綜合可求
解答：解：設(shè)過點(diǎn)B（1，1）的直線方程為y=k（x-1）+1（當(dāng)k存在時(shí)）或x=1（當(dāng)k不存在時(shí)）．
（1）當(dāng)k存在時(shí)，有
得（2-k²）x²+（2k²-2k）x-k²+2k-3=0 （1）
當(dāng)直線與雙曲線相交于兩個(gè)不同點(diǎn)，則必有△=（2k²-2k）²-4（2-k²）（-k²+2k-3）＞0，
∴k＜
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
∴x₁+x₂=，又B（1，1）為線段PQ的中點(diǎn)
∴=1 即=1
∴k=2
當(dāng)k=2，使2-k²≠0但使△＜0
因此當(dāng)k=2時(shí)，方程（1）無實(shí)數(shù)解
故過點(diǎn)B（1，1）與雙曲線交于兩點(diǎn)P、Q且B為線段PQ中點(diǎn)的直線不存在．
（2）當(dāng)k不存在時(shí)，即當(dāng)x=1時(shí)，直線經(jīng)過點(diǎn)B，但不滿足條件，
綜上，符合條件的直線l不存在．
點(diǎn)評(píng)：本題考察了直線與雙曲線的位置關(guān)系，特別是相交時(shí)的中點(diǎn)弦問題，方程的根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，及利用方程思想判斷直線與曲線位置關(guān)系