【題目】設(shè)函數(shù)
(1)若在點
處的切線斜率為
,求
的值;
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(3)若,求證:在
時,
.
【答案】(1);(2)當
時,
的單調(diào)減區(qū)間為
.單調(diào)增區(qū)間為
;
當時,
的單調(diào)減區(qū)間為
;(3)證明見解析.
【解析】試題分析:(1)先求出,通過
在點
處的切線斜率,可得
,解得
;(2)由(1)知:
,結(jié)合導數(shù)分①
、②
兩種情況討論分別令
求得
的范圍,可得函數(shù)
增區(qū)間,
求得
的范圍,可得函數(shù)
的減區(qū)間;;(3)通過變形,只需證明
即可,利用
,根據(jù)指數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性及零點判定定理即得到結(jié)論.
試題解析:(1)若在點
處的切線斜率為
,
,
得.
(2)由
當時,令
解得:
當變化時,
隨
變化情況如表:
由表可知: 在
上是單調(diào)減函數(shù),在
上是單調(diào)增函數(shù)
當時,
,
的單調(diào)減區(qū)間為
所以,當時,
的單調(diào)減區(qū)間為
.單調(diào)增區(qū)間為
當時,
的單調(diào)減區(qū)間為
(3)當時,要證
,即證
令,只需證
∵
由指數(shù)函數(shù)及幕函數(shù)的性質(zhì)知: 在
上是增函數(shù)
∵,∴
在
內(nèi)存在唯一的零點,
也即在
上有唯一零點
設(shè)的零點為
,則
,即
,
由的單調(diào)性知:
當時,
,
為減函數(shù)
當時,
,
為增函數(shù),
所以當時.
∴.
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【題目】給出下列4個命題
①“若,則
”的否命題是“若
,則
”;
②若命題,則
為真命題;
③“平面向量夾角為銳角,則
”的逆命題為真命題;
④“函數(shù)有零點”是“函數(shù)
在
上為減函數(shù)”的充要條件.
其中正確的命題個數(shù)是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【題目】在等差數(shù)列中,
,其前
項和為
,等比數(shù)列
的各項均為正數(shù),
,且
,
.
(1)求數(shù)列和
的通項公式;
(2)令,設(shè)數(shù)列
的前
項和為
,求
(
)的最大值與最小值.
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【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=a﹣ ,
(1)若x∈[ ,+∞),①判斷函數(shù)g(x)=f(x)﹣2x的單調(diào)性并加以證明;②如果f(x)≤2x恒成立,求a的取值范圍;
(2)若總存在m,n使得當x∈[m,n]時,恰有f(x)∈[2m,2n],求a的取值范圍.
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【題目】下列各函數(shù)在其定義域中,既是奇函數(shù),又是增函數(shù)的是( )
A.y=x+1
B.y=﹣x3
C.y=﹣
D.y=x|x|
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【題目】下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增的是( )
A.
B.y=e﹣x
C.y=lg|x|
D.y=﹣x2+1
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【題目】若Ai(i=1,2,3,…,n)是△AOB所在平面內(nèi)的點,且
=
,給出下列說法:
·(1)| |=|
|=|
|=…=|
|
·(2)| |的最小值一定是|
|
·(3)點A和點Ai一定共線
·(4)向量 及
在向量
方向上的投影必定相等
其中正確的個數(shù)是( )
A.1個
B.2個
C.3個
D.4個
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,有一塊半徑為2的半圓形紙片,計劃剪裁成等腰梯形ABCD的形狀,它的下底AB是⊙O的直徑,上底CD的端點在圓周上,設(shè)CD=2x,梯形ABCD的周長為y.
(1)求出y關(guān)于x的函數(shù)f(x)的解析式;
(2)求y的最大值,并指出相應(yīng)的x值.
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