Question

已知函數(shù)，a∈R．
（Ⅰ）當(dāng)a≥0時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極小值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）≥0對(duì)定義域內(nèi)的任意x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解析：（Ⅰ）由題意知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），
且，
當(dāng)a≥0時(shí)，若0＜x＜2，f'（x）＜0，若x＞2，f'（x）＞0，
故此時(shí)函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，2），單調(diào)遞增區(qū)間是（2，+∞）．
f（x）在x=2處取得極小值f（2）=-2+2a（1-ln2）；
（Ⅱ）當(dāng)a＜0時(shí)，f（2）=2+2a-4-2aln2=-2+2a（1-ln2）＜0，
故對(duì)f（x）≥0不恒成立．
當(dāng)a≥0時(shí)，由（1）知，f（x）在x=2處取得最小值f（2）=-2+2a（1-ln2），
此時(shí)f（2）=-2+2a（1-ln2）≥0，解得，
綜上所述a的取值范圍是．
分析：（Ⅰ）當(dāng)a≥0時(shí)，在定義域內(nèi)解不等式f'（x）＜0，f'（x）＞0即可；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）≥0對(duì)定義域內(nèi)的任意x恒成立，等價(jià)于f（x）_min≥0，易分析a＜0時(shí)不合題意，a≥0時(shí)由（1）知f（x）的最小值；
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，考查函數(shù)恒成立問題，考查分類討論思想，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力．