如圖是某直三棱柱ABC-DPQ被削去上底后的直觀圖與三視圖的側(cè)視圖、俯視圖．在直觀圖中，M是BD的中點(diǎn)．側(cè)視圖是直角梯形，俯視圖是等腰直角三角形，有關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示．
（1）求證：EM∥平面ABC；
（2）求出該幾何體的體積．

（1）證明：如圖，取BC的中點(diǎn)N，連接EM，MN，AN
則MN∥CD，且MN=CD=2
∴AE∥MN，且AE=MN
∴四邊形EMNA為平行四邊形
∴EM∥AN
∵EM?平面ABC，AN?平面ABC
∴EM∥平面ABC
（2）如圖，連接AD，則VVABCED=VD-ABC+VD-ABE
由已知可知CD⊥面ABC，△ABC是等腰直角三角形，AB⊥AC，CD∥平面ABE，點(diǎn)D到面ABE的距離等于點(diǎn)C到面ABE的距離，即等于CA的長(zhǎng)2．
∴==
==
∴
故幾何體的體積為4．
分析：（1）取BC中點(diǎn)N，連接EM，AN，MN，證明四邊形EMNA為平行四邊形，得EM∥AN，由線面平行的判定定理，可得EM∥平面ABC．
（2）連接AD，把幾何體分割成兩個(gè)三棱錐，即可求解．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與平面平行的判定、三視圖的有關(guān)知識(shí)、幾何體的分割、三棱錐體積的計(jì)算．在解題中把不熟悉的幾何體分割成常見幾何體，體現(xiàn)數(shù)學(xué)解題中的化歸的思想．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖是某直三棱柱ABC-DPQ被削去上底后的直觀圖與三視圖的側(cè)視圖、俯視圖．在直觀圖中，M是BD的中點(diǎn)．側(cè)視圖是直角梯形，俯視圖是等腰直角三角形，有關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示．
（1）求證：EM∥平面ABC；
（2）求出該幾何體的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•煙臺(tái)三模）如圖是某直三棱柱（側(cè)棱與底面垂直）被削去上底后的直觀圖與三視圖的側(cè)視圖、俯視圖，在直觀圖中，M是BD的中點(diǎn)，側(cè)視圖是直角梯形，俯視圖是等腰直角三角形，有關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示．
（Ⅰ）求出該幾何體的體積．
（Ⅱ）若N是BC的中點(diǎn)，求證：AN∥平面CME；
（Ⅲ）求證：平面BDE⊥平面BCD．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•上饒一模）如圖是某直三棱柱被削去上底后的直觀圖與三視圖的左視圖、俯視圖，在直觀圖中，M是BD的中點(diǎn)，左視圖是直角梯形，俯視圖是等腰直角三角形，有關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示．
（1）求證：EM∥平面ABC；
（2）求出該幾何體的體積；
（3）試問在平面ACDE上是否存在點(diǎn)N，使MN⊥平面BDE？若存在，確定點(diǎn)N的位置；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年山西省太原五中高二（上）8月月考數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

如圖是某直三棱柱ABC-DPQ被削去上底后的直觀圖與三視圖的側(cè)視圖、俯視圖．在直觀圖中，M是BD的中點(diǎn)．側(cè)視圖是直角梯形，俯視圖是等腰直角三角形，有關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示．
（1）求證：EM∥平面ABC；
（2）求出該幾何體的體積．

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