Question

已知函數(shù)．
（1）若x∈R，求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間上的最小值及此時x的值；
（3）若，，求sin2x₀的值．

Answer 1

解：（1）∵函數(shù)=sin2x+cos2x=2sin（2x+），
令 2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈z，解得 kπ-≤x≤kπ+，k∈z．
故函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-，kπ+]，k∈z．
（2）∵x∈，∴2x+∈，故當2x+=，即x=時，函數(shù)f（x）取得最小值為-1．
（3）若，，則有2sin（2x₀+）=，sin（2x₀+）=．
再由（2x₀+）為鈍角可得cos（2x₀+）=-，
∴sin2x₀ =sin[（2x₀+）-]=sin（2x₀+）cos-cos（2x₀+）sin==．
分析：（1）利用三角函數(shù)的恒等變換化簡函數(shù)的解析式為f（x）=2sin（2x+），令 2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范圍，即可得到f（x）的單調(diào)增區(qū)間．
（2）根據(jù)x的范圍可得2x+∈，由此求得函數(shù)f（x）的最小值以及此時x的值．
（3）由條件求得sin（2x₀+）=．再根據(jù)（2x₀+）為鈍角可得cos（2x₀+）=-，由sin2x₀ =sin[（2x₀+）-]，利用兩角差的正弦公式求得結果．
點評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，復合三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，正弦函數(shù)的定義域和值域，兩角和差的正弦公式的應用，屬于中檔題．