Question

如圖，三棱錐P-ABC中，側(cè)面PAC⊥底面ABC，∠APC=90°，且AB=4，AP=PC=2，BC=2．
（Ⅰ）求證：PA⊥平面PBC；
（Ⅱ）若E為側(cè)棱PB的中點(diǎn)，求直線AE與底面ABC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先證明PA⊥PC，再證明BC⊥平面ACP，可得PA⊥BC，利用線面垂直的判定，可得PA⊥平面PBC；
（Ⅱ）取AC中點(diǎn)O，連接PO、OB，并取OB中點(diǎn)H，連接AH、EH，證明∠EAH為直線AE與底面ABC所成角，且sin∠EAH=，由此可得結(jié)論．
解答：（Ⅰ） 證明：由∠APC=90°知，PA⊥PC，
又AP=PC=2，所以AC=2，…（2分）
又AB=4，BC=2，所以AC²+BC²=AB²，
所以∠ACB=90°，即BC⊥AC，…（3分）
又側(cè)面PAC⊥底面ABC，側(cè)面PAC∩底面ABC平面=AC，BC?平面ABC，
所以BC⊥平面ACP，所以PA⊥BC，…（5分）
又PC∩BC=C，所以PA⊥平面PBC…（6分）
（Ⅱ）解：如圖，取AC中點(diǎn)O，連接PO、OB，并取OB中點(diǎn)H，連接AH、EH，
因?yàn)镻A=PC，所以PO⊥AC，
∵BC⊥平面ACP，PO?平面ACP
∴BC⊥PO
∵AC∩BC=C，∴PO⊥平面ABC，
又E為側(cè)棱PB的中點(diǎn)，H為OB中點(diǎn)，∴EH∥PO
∴EH⊥平面ABC，…（8分）
∴∠EAH為直線AE與底面ABC所成角，且sin∠EAH=…（10分）
又PO=AC=，∴EH=PO=，
∵PA⊥平面PBC，PB?平面PBC，∴AP⊥PB，∴PB=2，PE=，
∴AE=，…（11分）
∴sin∠EAH===
所以直線AE與底面ABC所成角的正弦值為．…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與平面垂直的判定，考查線面角，掌握線面垂直的判定，正確作出線面角是關(guān)鍵．