Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=a（x+ ）+blnx（其中a，b∈R）
（Ⅰ）當(dāng)b=﹣4時(shí)，若f（x）在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)a=﹣1時(shí)，是否存在實(shí)數(shù)b，使得當(dāng)x∈[e，e2]時(shí)，不等式f（x）＞0恒成立，如果存在，求b的取值范圍，如果不存在，說明理由（其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e=2.71828…）．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞），
f′（x）= ，
若f（x）在其定義域內(nèi)遞增，
則a≥ = =1，
故a≥1，
若若f（x）在其定義域內(nèi)遞減，
則a≤ = ，
x+ →+∞時(shí)， →0，
故a≤0；
綜上，a≤0或a≥1；
（Ⅱ）f（x）=﹣（x+ ）+blnx＞0在x∈[e，e2]時(shí)恒成立，
即b＞ 在x∈[e，e2]時(shí)恒成立，
令h（x）= ，x∈[e，e2]，
h′（x）= ，
令 =t，則t∈[ ， ]，
∴ + =t2+2t∈[ + ， + ]，
∴l(xiāng)nx﹣（ + ）＞0，h′（x）＞0恒成立，
h（x）在[e，e2]遞增，
∴h（x）max=h（e2）=
∴b＞
【解析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為則a≥ ，或a≤ ，求出a的范圍即可；（Ⅱ）問題轉(zhuǎn)化為b＞ 在x∈[e，e2]時(shí)恒成立，令h（x）= ，x∈[e，e2]，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出b的范圍即可．
【考點(diǎn)精析】利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值．