Question

證明：（1）

n

k=0

2k

C

k n

=3n（n∈N）；
（2）2C_2n⁰+C_2n¹+2C_2n²+C_2n³+…+C_2n^2n-1+2C_2n²ⁿ=3•2^2n-1（n∈N）；
（3）2＜(1+

1

n

)n＜3(n∈N)．

Answer 1

分析：（1）從右邊開始分析，將3看成1+2，由二項式定理展開可得左式，即原等式可得證明；
（2）觀察左式，可將左式轉化為（C_2n⁰+C_2n¹+C_2n³+…+C_2n²ⁿ）+（C_2n⁰+C_2n²+C_2n⁴+…+C_2n²ⁿ），由二項式系數的性質，（C_2n⁰+C_2n¹+C_2n³+…+C_2n²ⁿ）=2²ⁿ，（C_2n⁰+C_2n²+C_2n⁴+…+C_2n²ⁿ）=2^2n-1，相加可得右式，即原等式可得證明；
（3）由二項式定理，將（1+

1

n

）ⁿ展開可得1+

1

n

C_n¹+

1

n2

C_n²+…

1

nn

+C_nⁿ=1+1++

1

n2

C_n²+…

1

nn

+C_nⁿ；分析可得：（1+

1

n

）ⁿ＞2；另一方面，用放縮法分析，，（1+

1

n

）ⁿ=1+1+

1

2!

n-1

n

+

1

3!

(n-1)(n-2)

n2

+…+

1

n!

•

1

nn-1

•（n-1）（n-2）…2•1＜1+1+

1

2!

+

1

3!

+…+

1

n!

＜1+1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

；整理可得右式的證明，綜合可證得原不等式．

解答：證明：（1）右式=3ⁿ=（1+2）ⁿ=C₂⁰2⁰+C₂¹2¹+C₂²2²+…+C₂ⁿ2ⁿ=

n

n-1

2k

C

k n

=左式；
故得證；
（2）左式=（C_2n⁰+C_2n¹+C_2n³+…+C_2n²ⁿ）+（C_2n⁰+C_2n²+C_2n⁴+…+C_2n²ⁿ）=2²ⁿ+2^2n-1=3•2^2n-1=右式；
故得證；
（3）由二項式定理，（1+

1

n

）ⁿ=1+

1

n

C_n¹+

1

n2

C_n²+…

1

nn

+C_nⁿ=1+1+

1

n2

C_n²+…

1

nn

+C_nⁿ；①
由①知，（1+

1

n

）ⁿ＞2；
另一方面，（1+

1

n

）ⁿ=1+1+

1

2!

n-1

n

+

1

3!

(n-1)(n-2)

n2

+…+

1

n!

•

1

nn-1

•（n-1）（n-2）…2•1
＜1+1+

1

2!

+

1

3!

+…+

1

n!

＜1+1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

＜1+

1

1- 1 2

=3；
綜合即2＜（1+

1

n

）ⁿ＜3．

點評：本題考查二項式定理的應用，涉及等式、不等式的證明；注意觀察原等式或不等式的形式，結合二項式定理，進而對原題題干進行恒等變形，最終證明命題．