已知函數(shù)f(x)=x4-x3+ax2-1在區(qū)間(0,2)單調(diào)遞減,在區(qū)間(2,3)單調(diào)遞增.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)已知函數(shù),求證:g(x)與函數(shù)f(x)的圖象恰有1個(gè)交點(diǎn).
【答案】分析:(Ⅰ)求導(dǎo)函數(shù),利用函數(shù)f(x)=x4-x3+ax2-1在區(qū)間(0,2)單調(diào)遞減,在區(qū)間(2,3)單調(diào)遞增,可得函數(shù)在x=2處取得極值,即f′(2)=0,從而可求a的值;
(Ⅱ)令F(x)=f(x)-g(x)=x4-4x3+(4-b)x2,證明x=0時(shí),函數(shù)F(x)取得極小值,且F(x)≥F(0)=0,即f(x)≥g(x)恒成立,從而可得結(jié)論.
解答:(Ⅰ)解:求導(dǎo)函數(shù)可得f′(x)=4x3-3x2+2ax
∵函數(shù)f(x)=x4-x3+ax2-1在區(qū)間(0,2)單調(diào)遞減,在區(qū)間(2,3)單調(diào)遞增.
∴函數(shù)在x=2處取得極值
∴f′(2)=0,即32-12+4a=0,∴a=-5
(Ⅱ)證明:令F(x)=f(x)-g(x)=x4-4x3+(4-b)x2,則F′(x)=4x3-12x2+2(4-b)x,
令F′(x)=0,即4x3-12x2+2(4-b)x=0,∴x=0或2x2-6x+(4-b)x=0
∵b<-,
∴2x2-6x+(4-b)x=0的判別式△=4(1+2b)<0,
∴當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),F(xiàn)′(x)<0;x∈(0,+∞)時(shí),F(xiàn)′(x)>0;
∴x=0時(shí),函數(shù)F(x)取得極小值,且F(x)≥F(0)=0,即f(x)≥g(x)恒成立
∴F(x)=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)解
∴g(x)與函數(shù)f(x)的圖象恰有1個(gè)交點(diǎn).
點(diǎn)評(píng):本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用,考查函數(shù)的單調(diào)性與極值,考查函數(shù)圖象的交點(diǎn),屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是(  )
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對(duì)一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:上海模擬 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:深圳一模 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對(duì)一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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