Question

在二項(xiàng)式(

x

-

2

x

)n的展開式中，各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和與各項(xiàng)系數(shù)和之比為64．（ n∈N*）
（1）求n值；
（2）求展開式中的常數(shù)項(xiàng)．

Answer 1

分析：（1）各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為2ⁿ ，令x=1可得各項(xiàng)系數(shù)和為（-1）ⁿ ，由2ⁿ：（-1）ⁿ=64 可得n的值．
（2）根據(jù)通項(xiàng)公式Tr+1=(-2)r

C

r 6

x

6-3r

2

，由6-3r=0得r=2，從而得到常數(shù)項(xiàng)．

解答：解：（1）各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為2ⁿ ，令x=1可得各項(xiàng)系數(shù)和為（-1）ⁿ ，
由2ⁿ：（-1）ⁿ=64 可得（-2）ⁿ=64，∴n=6．  （6分）
（2）由（1）知，Tr+1=

C

r 6

(

x

)6-r•(-

2

x

)r=(-2)r

C

r 6

x

6-3r

2

，（10分）
由6-3r=0得r=2，∴展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（-2）²C₆²=60． （13分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，注意各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和與各項(xiàng)系數(shù)和的區(qū)別．