Question

某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每年投入固定成本0.5萬(wàn)元，此外，每生產(chǎn)1件這種產(chǎn)品還需要增加投入25元，經(jīng)測(cè)算，市場(chǎng)對(duì)該產(chǎn)品的年需求量為500件，且當(dāng)出售的這種產(chǎn)品的數(shù)量為t（單位：百件）時(shí)，銷(xiāo)售所得的收入約為（萬(wàn)元）．
（1）若該公司這種產(chǎn)品的年產(chǎn)量為x（單位：百件）．試把該公司生產(chǎn)并銷(xiāo)售這種產(chǎn)品所得的年利潤(rùn)y表示為年產(chǎn)量x的函數(shù)；
（2）當(dāng)該公司的年產(chǎn)量x多大時(shí)，當(dāng)年所得利潤(rùn)y最大？

Answer 1

解：（1）由題意得：
（6分）
（2）當(dāng)0＜x≤5時(shí)，函數(shù)對(duì)稱軸為，
故x=4.75時(shí)y最大值為． （3分）
當(dāng)x＞5時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，故，（3分）
所以當(dāng)年產(chǎn)量為475件時(shí)所得利潤(rùn)最大． （2分）
分析：（1）由已知中某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每年投入固定成本0.5萬(wàn)元，此外，每生產(chǎn)1件這種產(chǎn)品還需要增加投入25元，經(jīng)測(cè)算，市場(chǎng)對(duì)該產(chǎn)品的年需求量為500件，且當(dāng)出售的這種產(chǎn)品的數(shù)量為t（單位：百件）時(shí)，銷(xiāo)售所得的收入約為（萬(wàn)元）．根據(jù)年利潤(rùn)=銷(xiāo)售額-成立，構(gòu)造出該公司生產(chǎn)并銷(xiāo)售這種產(chǎn)品所得的年利潤(rùn)y表示為年產(chǎn)量x的函數(shù)．
（2）根據(jù)（1）的分段函數(shù)解析式，我們分別求出各段上函數(shù)的最大值，進(jìn)而得到該公司當(dāng)年所得利潤(rùn)y的最大值，及相應(yīng)的生產(chǎn)量．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，函數(shù)的值域，分段函數(shù)的解析式求法，二次函數(shù)的性質(zhì)，其中（1）中要注意由于市場(chǎng)對(duì)該產(chǎn)品的年需求量為500件，故要分0＜x≤5，x＞5兩種情況將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)模型，（2）要注意分段函數(shù)最值，分段處理．