Question

已知函數(shù)f（x）=

1

x+1

+log₃

2-x

x

．
（1）求f（x）的定義域；
（2）判斷f（x）的單調(diào)性并證明；
（3）x取何值時，f[x（x-

1

2

）]＞

1

2

？

Answer 1

考點：指、對數(shù)不等式的解法,函數(shù)的定義域及其求法,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）由函數(shù)f（x）的解析式可得

x+1≠0 2-x x ＞0

，由此求得函數(shù)的定義域．
（2）函數(shù)f（x）是定義域內(nèi)的減函數(shù)．設0＜x₁＜x₂＜2，則f（x₁）-f（x₂）=

x2-x1

x1•x2

+log₃（

x2

x1

）+log3

2-x1

2-x2

＞0，可得函數(shù)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)．
（3）由于f（1）=

1

2

，f（x）是定義域內(nèi)的減函數(shù)，故由f[x（x-

1

2

）]＞

1

2

，可得 0＜x（x-

1

2

）＜1，由此求得x的范圍．

解答： 解：（1）由函數(shù)f（x）=

1

x+1

+log₃

2-x

x

，可得

x+1≠0 2-x x ＞0

，即

x≠-1 0＜x＜2

，∴0＜x＜2，故函數(shù)的定義域為（0，2）．
（2）函數(shù)f（x）=

1

x+1

+log₃

2-x

x

=

1

x+1

+log₃（

2

x

-1）是定義域內(nèi)的減函數(shù)，
證明：設0＜x₁＜x₂＜2，則f（x₁）-f（x₂）=

1

x1+1

+log3

2-x1

x1

-（

1

x2+1

+log3

2-x2

x2

）=

x2-x1

x1•x2

+log₃（

x2

x1

•

2-x1

2-x2

）=

x2-x1

x1•x2

+log₃（

x2

x1

）+log3

2-x1

2-x2

．
由題設可得，

x2-x1

x1•x2

＞0，log₃（

x2

x1

）＞0，

2-x1

2-x2

＞1，∴log3

2-x1

2-x2

＞0，∴f（x₁）-f（x₂）＞0，故函數(shù)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)．
（3）由于f（1）=

1

2

，f（x）是定義域內(nèi)的減函數(shù)，故由f[x（x-

1

2

）]＞

1

2

，可得 0＜x（x-

1

2

）＜1，即

x(x- 1 2 )＞0 x(x- 1 2 )＜1

．
求得

1- 17

4

＜x＜0，或

1

2

＜x＜

1+ 17

4

，故當

1- 17

4

＜x＜0，或

1

2

＜x＜

1+ 17

4

 時，f[x（x-

1

2

）]＞

1

2

．

點評：本題主要考查對數(shù)函數(shù)的定義域、單調(diào)性和特殊點，對數(shù)不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，屬于基礎題．