Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f（x）=f（x+2），當(dāng)x∈[3，5]時(shí)，f（x）=2-|x-4|．下列四個(gè)不等關(guān)系中正確的是（ ）
A．f（cos）＜f（sin）
B．f（sin1）＞f（cos1）
C．f（sin）＜f（cos）
D．f（cos2）＞f（sin2）

Answer 1

【答案】分析：由f（x）=f（x+2）可知f（x）是以2為周期的函數(shù)，依題意可求得3≤x＜4時(shí)與4≤x≤5時(shí)f（x）的解析式，對(duì)A，B，C，D判斷即可．
解答：解：∵x∈[3，5]時(shí)，f（x）=2-|x-4|，
∴當(dāng)3≤x＜4時(shí)，f（x）=x-2，
當(dāng)4≤x≤5時(shí)f（x）=6-x，
又f（x）=f（x+2），
∴f（x）是以2為周期的周期函數(shù)；
當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，函數(shù)同x∈[3，5]時(shí)相同，
同理可得，1≤x＜2時(shí)f（x）=（x+2）-2=x，即f（x）在[1，2）上單調(diào)遞增；
當(dāng)2≤x≤3時(shí)f（x）=6-（x+2）=4-x，
所以，當(dāng)0≤x≤1時(shí)f（x）=6-（x+2）=2-x，即f（x）在[0，1]上單調(diào)遞減；
∵cos=-，f（x）=f（x+2），
∴f（cos）=f（-）=f（）=，f（sin）=f（）=2-，
顯然，f（cos）＞f（sin），故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，0＜cos1＜sin1＜1，f（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，
∴f（cos1）＞f（sin1），故B錯(cuò)誤；
同理可得，f（sin）＞f（cos），故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，f（cos2）=f（2+cos2）=2+cos2，f（sin2）=2-sin2，
f（cos2）-f（sin2）=2+cos2-2+sin2=sin2+cos2＞0，
故D正確．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查不等關(guān)系與不等式，考查分段函數(shù)的解析式的求法與三角函數(shù)的單調(diào)性的綜合應(yīng)用，屬于難題．