已知雙曲線的中心在原點(diǎn),F(xiàn)1、F2為左、右焦點(diǎn),且在坐標(biāo)軸上,離心率為
2
,又雙曲線過點(diǎn)(4,-
10
).
(1)求此雙曲線的方程;
(2)若點(diǎn)M(3,m)在此雙曲線上,證明:F1M⊥F2M;
(3)在(2)的條件下,求△F1MF2的面積.
考點(diǎn):雙曲線的簡單性質(zhì)
專題:計算題,證明題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析:(1)雙曲線方程為x2-y2=λ,點(diǎn)代入求出參數(shù)λ的值,從而求出雙曲線方程,
(2)先求出
MF1
MF2
的坐標(biāo),把點(diǎn)M(3,m)代入雙曲線,可得出
MF1
MF2
=0,即可證明.
(3)求出三角形的高,即|m|的值,運(yùn)用三角形的面積公式可得其面積.
解答: (1)解:由離心率e=
2
,則c=
2
a,b=
c2-a2
=a,
可設(shè)所求雙曲線方程為x2-y2=λ(λ≠0)
則由點(diǎn)(4,-
10
)在雙曲線上,
知λ=42-(-
10
2=6
則雙曲線方程為x2-y2=6;
(2)證明:若點(diǎn)M(3,m)在雙曲線上,
則32-m2=6∴m2=3,
由雙曲線x2-y2=6,知F1(-2
3
,0),F(xiàn)2(2
3
,0),
MF1
=(-2
3
-3,-m),
MF2
=(2
3
-3,-m),
MF1
MF2
=(-2
3
-3)(2
3
-3)+m2=9-12+3=0,
則有F1M⊥F2M;
(3)解:△F1MF2的面積為S=
1
2
×2c•|m|=c|m|=2
3
×
3
=6.
點(diǎn)評:本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用.解答的關(guān)鍵是對雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的理解和向量運(yùn)算的應(yīng)用.
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某個地區(qū)從某年起幾年內(nèi)的新生嬰兒數(shù)及其中男嬰兒如下表:
時間范圍1年內(nèi)2年內(nèi)3年內(nèi)4年內(nèi)
新生嬰兒數(shù)554490131352017191
男嬰兒數(shù)2716489968128590
這一地區(qū)男嬰兒出生的概率約是( 。
A、0.4B、0.5
C、0.6D、0.7

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(2)求數(shù)列{an}的通項公式.

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不等式|x-1|<2的解集是( 。
A、(-2,2)
B、(-∞,-2)∪(2,+∞)
C、(-1,3)
D、(-3,1)

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與雙曲線
x2
16
-
y2
9
=1
有公共漸近線且經(jīng)過點(diǎn)A(2,-
3
)
的雙曲線方程是
 

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若a1、a2、a3、…an的方差為3,則2(a1-3),2(a2-3),2(a3-3),…2(a8-3)的方差為
 

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說出下列算法的結(jié)果.運(yùn)行時輸入3、4、5,運(yùn)行結(jié)果為輸出:
 

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已知數(shù)列{an}滿足a1=
1
2
,an-1-an=
anan-1
n(n-1)
,(n≥2),則該數(shù)列的通項公式an=
 

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某機(jī)器總成本y(萬元)與產(chǎn)量x(臺)之間的函數(shù)關(guān)系式是y=x2-75x,若每臺機(jī)器售價為25萬元,則該廠獲利潤最大時應(yīng)生產(chǎn)的機(jī)器臺數(shù)為( 。
A、30B、40C、50D、60

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